第七章 截面的几何性质分解

第七章截面的几何性质§7–1截面的面积矩和形心位置§7–2惯性矩、惯性积与极惯性矩§7–3主惯性轴和主惯性矩§7–4组合截面的惯性矩计算分别称为截面对z轴和y轴的面积矩。§7-1截面的面积矩和形心位置一、面积矩SyAzAdAyAzSd二、形心AyAyAzAziiciic形心坐标公式为：静矩和形心坐标之间的关系：ASAydAyASAZdAzzAcyAc如果截面几何图形对某一轴的面积矩等于零，相应的形心坐标值为零，即该轴通过截面形心。反之，当坐标轴通过截面的形心时，其面积矩恒等于零。例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。解：Sbhaahay242bha2422例：确定图示图形形心C的位置。解：将L形截面分割为两个矩形截面，120X10和70X10mmASzzc7.19107010120)1035(1070510120mmASyyc7.39107010120510706010120§7-2惯性矩、惯性积与极惯性一、惯性矩AyAzAzIAyIdd22iiyz、分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径IAiyy22zziAI工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即：二、惯性积zydAIAzy若截面具有一根对称轴，则该截面对于包括此对称轴在内的二正交坐标轴的惯性积一定等于零。0zyI三、极惯性矩IApA2d222yzIIIpyz因此，截面对原点O的极惯性矩等于它对两个直角坐标轴的惯性矩之和。解：1232222bhbdyydAyIhhAz1232222hbhdzzdAzIbbAy例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。§7-3主惯性轴和主惯性矩一、主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴当平面图形对某一对正交坐标轴z0、y0的惯性积Iz0y0=0时，则坐标轴z0、y0称为主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。(2)主惯性矩平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。二、形心主惯性轴和形心主惯性矩(1)形心主惯性轴过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。(2)形心主惯性矩平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。形心主惯性轴具有两个特征：1）它们经过截面的形心；2）截面对形心主轴的惯性积等于零，并且其惯性矩达到极大或极小值。§7–4组合截面的惯性矩计算一、平行移轴公式yyazzbccAzyAyAzAzyIAzIAyIddd22AaIAa2aSIdAadAy2adAydA)a(ydAyI2zC2zCzCA2ACA2C2ACA2Z由于zc轴为形心轴，故0zcs同理得：AbIIycy2平行移轴公式：IIbAIIaAIIabAyyzzyzyzCCCC22二、求有一个对称轴的组合截面的形心主惯性矩形心主惯性矩是截面对通过形心各轴的惯性矩中的最大值和最小值。下面举例说明如何运用平行移轴公式计算具有一个对称轴的截面的形心主惯性矩。例计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。解：1)求形心位置由于y轴为对称轴，故形心必在此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc坐标为：mmmmAyAyciic553)4004100060030040045001000600(222)计算Iz阴影部分截面对z轴的惯性矩，可看是矩形截面与圆形截面对z轴惯性矩之差。故48224232224121321104244400)300553(644001000600)500553(121000600]64[]12[mmAaDAabhIIIzzz