2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)

12011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，若集合1,0,1S，则（）．A．iSB．2iSC．3iSD．2iS【解】2i1S．故选B．2．若aR，则2a是120aa的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件C．既不充分又不必要条件【解】当2a时，120aa，所以2a是120aa的充分条件，但是120aa时，1a或2a，所以2a不是120aa的必要条件．故选A．3．若tan3α，则2sin2cos的值等于（）．A．2B．3C．4D．6【解】22sin22sincos2tan6coscos．故选D．4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ΔABE内部的概率等于（）．A．14B．13C．12D．23【解】因为Δ12ABEABCDSS，则点Q取自ΔABE内部的概率Δ12ABEABCDSPS．故选C．5．10e2xxdx等于（）．A．1B．e1C．eD．e1【解】112000e2ee1e0exxxdxx．故选C．6．512x的展开式中，2x的系数等于（）．A．80B．40C．20D．10DCBEA2【解】15C2rrrrTx，令2r，则2x的系数等于225C240．故选B．7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,FF，若曲线Γ上存在点P满足1122::4:3:2PFFFPF，则曲线Γ的离心率等于（）．A．12或32B．23或2C．12或2D．23或32【解】因为1122::4:3:2PFFFPF，所以设14PFλ，123FFλ，22PFλ．若Γ为椭圆，则12122426,23,PFPFaλλλFFcλ所以12cea．若Γ为双曲线，则12122422,23,PFPFaλλλFFcλ所以32cea．故选A．8．已知O是坐标原点，点1,1A，若点,Mxy为平面区域2,1,2xyxy上的一个动点，则OAOM的取值范围是（）．A．1,0B．0,1C．0,2D．1,2【解】设1,1,zOAOMxyxy．作出可行域，如图．直线zxy，即yxz经过1,1B时，z最小，min110z，yxz经过0,2C时，z最大，max022z，所以OAOM的取值范围是0,2．故选C．9．对于函数sinfxaxbxc(其中，,abR，cZ)，选取,,abc的一组值计算1f和1f，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是（）．A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2【解】11sin1sin12ffabcabcc，因为cZ，则11ff为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123不是偶数.故选D．(1,1)(1,2)21BAOyxC310．已知函数exfxx，对于曲线yfx上横坐标成等差数列的三个点,,ABC，给出以下判断：①ΔABC一定是钝角三角形②ΔABC可能是直角三角形③ΔABC可能是等腰三角形④ΔABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（）．A．①,③B．①,④C．②,③D．②,④【解】设ab．首先证明22fafbabf．22fafbabf222ababeaebabe22ababeee2220ababababeeeee，当且仅当ab时等号成立，由于ab，所以等号不成立，于是022fafbabf，22fafbabf．①设点,AAAxy，,BBBxy，,CCCxy，且,,ABCxxx成等差数列，ABCxxx．由fx是R上的增函数，则ABCyyy，②如图，D为AC的中点，过,,ABC作x轴的垂线，垂足依次为,,MNP．因为2ACBxxx，所以D在直线BN上，作AEBN交BN于E，作BFCP交CP于F．因为22ACACDfxfxyyy，2ACBxxyf，由①式，DByy，，4DADEyy，DBDByy，由②，DEDB，所以点B在DE的内部，因而90DBADEA，又CBADBA，所以ABC一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC是等腰三角形，因为D为AC的中点，则BDAC，因而//ACx轴，这是不可能的，所以ABC不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】3．123a．所以输出的结果是3．12．三棱锥PABC中，PAABC底面，3PA，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于______．【解】3．2Δ113233334ABCVSPA．13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】35．所取出的2个球颜色不同的概率113225CC233C105P．14．如图，ΔABC中，2ABAC，23BC，点D在BC边上，45ADC，则AD的长度等于______．【解】2．解法1．由余弦定理22241243cos222223ACBCABCACBC,所以30C.再由正弦定理sinsinADACCADC，即2sin30sin45AD，所以2AD．解法2．作AEBC于E，因为2ABAC，所以E为BC的中点，因为23BC，则3EC．DBCAEDBCA5于是221AEACEC，因为ΔADE为有一角为45的直角三角形．且1AE，所以2AD．15．设V是全体平面向量构成的集合，若映射:fVR满足：对任意向量11,axyV，22,bxyV，以及任意λR，均有11fabfafb则称映射f具有性质P．先给出如下映射：①11:,,,fVfmxymxyVR；②222:,,,fVfmxymxyVR；③33:,1,,fVfmxymxyVR．其中，具有性质P的映射的序号为________．（写出所有具有性质P的映射的序号）．【解】①，③．设11,axyV，22,bxyV，则112212121,1,1,1abxyxyxxyy．对于①，1212111fabxxyy11221xyxy，112211fafbxyxy，所以11fabfafb成立，①是具有性质P的映射；对于②，21212111fabxxyy2121211xxyy22221122121121xyxyxx，22112211fafbxyxy，6显然，不是对任意λR，11fabfafb成立，所以②不是具有性质P的映射；对于③，12121111fabxxyy112211xyxy，11221111fafbxyxy112211xyxy112211xyxy．所以11fabfafb成立，③是具有性质P的映射．因此，具有性质P的映射的序号为①，③．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知等比数列na的公比3q，前3项和3133S．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)fxAxA在6x处取得最大值，且最大值为3a，求函数fx的解析式．【解】（Ⅰ）由3q，3133S得311313133a，解得113a．所以11211333nnnnaaq．（Ⅱ）由（Ⅰ），32333a，所以函数fx的最大值为3，于是3A．又因为函数fx在6x处取得最大值，则sin216，因为0，所以6．函数fx的解析式为()3sin26fxx．17.（本小题满分13分）已知直线:lyxm，mR．7（Ⅰ）若以点2,0M为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线2:4Cxy是否相切？说明理由．【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点P的坐标为0,m．因为以点2,0M为圆心的圆与直线l相切与点P，所以MPl．01102MPlmkk，所以2m．点P的坐标为0,2．设圆的方程为2222xyr，则2202208rMP，所以，所求的圆的方程为2228xy．解法2．设圆的方程为2222xyr，因为以点2,0M为圆心的圆与直线l相切与点0,Pm，所以224,20,2mrmr解得2,22.mr所以，所求的圆的方程为2228xy．（Ⅱ）解法1．因为直线:lyxm，且直线l与直线l关于x轴对称，则:lyxm．由24,,xyyxm得2440xxm，2Δ4440m，解得1m．所以，当1m时，Δ0，直线l与抛物线2:4Cxy相切，当1m时，Δ0，直线l与抛物线2:4Cxy不相切．解法2．因为直线:lyxm，且直线l与直线l关于x轴对称，则:lyxm．8设直线l与抛物线214yx相切的切点为00,xy，由214yx得12yx，则0112x，02x，022ymm．所以切点为2,2m，窃电在抛物线214yx上，则21m，1m．所以，当1m时，直线l与抛物线2:4Cxy相切，当1m时，直线l与抛物线2:4Cxy不相切．18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式210(6)3ayxx，其中36x，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解】（Ⅰ）因为5x时，11y，由函数式210(6)3ayxx得11102a，所以2a．（Ⅱ）因为2a，所以该商品每日的销售量为2210(6)3yxx，36x．每日销售该商品所获得的利润为