对中学数学运算的认识(周祝光)

对中学数学运算的认识川大附中周祝光[e-mail]对中学数学运算的认识运算能力是最基础又是应用最广的一种能力，在高考中半数以上的题目需要运算，运算始终是高三沉重的话题。现实状况令人担忧，学生运算能力普遍偏差，高考中的运算问题成了莘莘学子升学的拦路虎.毫不夸张地说，考生高考“成也运算，败也运算”.在实际的教学活动中，不明算理，机械地套用运算公式；不顾运算目标，进行盲目的推理演算；运算过程中缺乏选择合理、简洁的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高等现象经常发生。不少老师和学生对运算能力的内涵缺乏科学认识，常常将运算过程中的错误原因归结到非认知因素上，认为是“马虎”、“粗心”“不注意”才造成运算错误。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对运算的具体实施，对运算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。基于此，如何在高三数学复习教学过程中强化数学运算教学、落实运算能力的培养就成了咱们高三数学人必须直面的课题.现就高三复习教学中的运算问题及培养学生运算能力问题与各位交流，旨在抛砖引玉，主要谈三个方面问题：一是导致学生运算能力普遍较差的成因分析，二是解读运算能力，三是关于培养运算能力的建议。一、导致高三学生运算能力普遍较差的成因分析运算能力差是导致数学弱势群体的主要原因之一（文科尤甚！）.冰冻三尺非一日之寒，高三学生运算能力差的原因复杂多样.1、从学生学习的外环境来看（1）初中课程改革削弱了运算要求（十字相乘法等乘法公式、因式分解等代数恒等变形、根系关系、比例、平面几何等）.（2）计算器的广泛运用削弱了运算意识.（3）从小学到中学对减负、愉快教育、条禁令等阻碍了学生运算能力的健康发展。缺乏正确的认识，导致了事实上的学生运算能力越来越差.（4）教师关于运算的教学力度不够n2、从学生学习的内环境来看（1）数学学习方法出问题：不注重知识储备，不重视三基，不注重对数学思想方法的归纳、反思和总结.（2）数学学习过程出现问题：积弱已久！①概念模糊不清（新增内容尤甚）学生容易因概念模糊而运算失误。②公式、性质记忆不准确.③数据处理能力（计算、排序、筛选、分类讨论等）差.④数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差,运算无从下手.⑤代数恒等变形常规方法不熟练.⑥识别、驾奴图表的能力差.⑦算法意识差，算理不清，尤其是文科生对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识.⑧审题不仔细表达能力差，书写不规范。⑨运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套,心里想的和手上写的不一致.⑩心理素质差，演绎了从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运算悲剧.3、调查结果运算能力差是导致数学学习的弱势群体的主要原因之一（1)从学生属性看，重灾区在文科一般说，文科生的形象思维好于逻辑思维，繁琐的运算是他们厌恶的，数学不好的很大的一个原因是烦算，讨厌精确，喜欢模糊，更喜欢定性的描述，不喜欢定量的描述和思维.（2)从学生性别看，重灾区在男生男生大大咧咧，“运算”是一种“磨难”，他们不喜欢磨难，喜欢小聪明，喜欢偷懒，怎样不算最好，由于书写格式严格，他们不喜欢循规蹈矩，随意、简单、迅速完成是他们的习惯，不喜欢记忆一些基本的规律、方法、长期欠帐.（3）从分数段上看，重灾区在80—110之间.二、运算能力解析（一）、历年考试说明（大纲）对运算能力要求的演变：与时俱进，对运算能力要求越来越高，越来越具体.１、在98年以前，高考数学试卷对运算能力的考查重点放在对“正确迅速的数与式的运算、变形的能力”上。２、99年的考纲添加了“对估算意识、估算能力”的考查。３、02年考纲将其扩大到“在懂得基本运算技能的基础上，考查考生对运算策略的选择、估算意识，对运算工具的使用技能以及对运算结果反思、演算的自觉意识”.４、05年考纲就运算能力添加了“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算程序等一系列过程的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.”５、06考纲——“运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径”，“在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”６、07考纲——“运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简洁的运算途径”“在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能”。变化：“能根据问题条件”变为“能根据问题的条件和目标”；“遇到障碍而调整运算”改为“遇到障碍而调整运算的能力及实施运算和计算的技能”。认识：07考纲运算能力要求有所提高，强调认准目标方向，制定运算策略，以及对“数”的准确运算，对“式”的合理变形。06四川高考（17）题先分解因式可能更简单一些；（18）要求对小数的运算要准确，（19）题第三问学生看到用“向量计算”冗长且数据不简单而放弃，其实只要调整运算策略转为几何方法就有望获得成功。这些变化显示，高考对考生运算能力的要求逐步提高，对考生探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等提出了明确的要求.各种运算都有其自己的意义、法则（公式），都应遵循一定的运算率。运算能力包含两层意识，即计算技能和逻辑思维，因此制定运算能力评价目标时，应从这两个方面考虑。在计算技能方面：①是否记住数学计算公式、计算法则，并能准确的运用公式和法则进行计算。②能否应用概念、性质、定理进行有关的计算。③在进行各种数学计算时，包括数、式、方程、函数、指数、对数、三角函数、不等式、复数等结果是否准确，速度是否迅速，过程是否合理。④能否进行各种查表和使用计算器计算。在逻辑思维方面：①是否合理的使用公式、法则。②运算方法和运算过程是否简捷。③能否对自己的运算结果进行检查和判断。④能否自我改正运算中的各类错误。⑤能否简化运算过程，进行“跳步”计算。⑥心算、速算、估算能力如何。⑦是否会推理计算。（二）、算法与算理１、两个前提（１）高中新课程增加了算法专题——课程改革对高考的影响。高中新课程标准指出“算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.……体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.…..将算法思想贯穿高中数学课程的相关部分.”（高中新课程标准）（２）今年全国各地高考把算法、算理的考查提升到理性高度。“多考一点想，少考一点算的内核——多考算法，算理”备考老师必须加强对学生算法意识的训练.2007年稳中求新注意梯度入手比较容易多考点想、少考点算理1理（文）2理3理（文）4文1文3文（理）5文（理）6文22（理21）理22中档试题常见文19文20理19理20（文21）“多思即能少算”的命题意识贯穿全卷试卷中对能力的考查注意了“多考点想，少考点算”的设计意图，同时，这也是对考生能力要求的一个方面。文理科前8道题，甚至第10题等几乎不需要多大计算就可以得出结论。(秒解)42323dABBCCA秒解（1）算法：就是运算的处方（美：林恩·阿瑟·斯蒂恩），也就是根据数学问题的情境，在将问题分析清楚的基础上，找到解决问题的具体步骤，这一组步骤称为算法.算法特点：算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.对于一个具体的算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败.算法是思维的条理化、逻辑化.中国古代数学中的算法中国古代数学以算法为主要特征，有许多算法成果，如《九章算术》、《周髀算经》、《数书九章》、《议古根源》、千古绝唱：割圆术—内接正三角形，正六边形，正十二边形，正二十四边形等.完成一个数学问题的算法有两个方面：①算法设计是根据算理进行数学模型加工的一个过程，直到将所给计算模型加工成所求的解，这是一个化繁为简的过程；②算法实现是根据算法设计进行调用的过程，这是一个以简驭繁的过程.举例03年解析几何算法设计与算法实现。分析：本题高考均分极低，惨不忍睹！很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗？让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受：首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定是解析几何问题；其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系；第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系；yxOBACDEGFP第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程;第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可.我们在赞叹这位同学聪明机智的同时，更应该看到他思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系yxOBACDEGFP开始结束问题的信息输入：这是解析几何问题，需建立坐标系根据图形的对称性建立恰当的坐标系设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标建立直线OF和GE的方程，用交轨法求点P的轨迹方程根据点P的轨迹方程判断点P的存在性事实上，上述框图中的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了.解：如图建立直角坐标系，按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).,022),(,212.02)12(1,0)12(2).44,2(),4,42(),4,2().10(222ayyxayxPkayxkaGEkaxOFakaGakFakEkkDADGCDCFBCBE坐标满足方程得点消去参数，从的方程为直线的方程为直线由此有设yxOBACDEGFP.21.21.1)(2122222和为定长到该椭圆焦点的距离的，点的轨迹为椭圆的一部分时，点当存在符合题意的两点的轨迹为圆弧，所以不时，点当整理得PPaPaaayx.2)21,0)(21,0(21.2),21)(,21(21222222aaaaaaaaaaa的距离之和为定值时，点到椭圆两个焦点当的距离之和为定值时，点到椭圆两个焦点当（２）、算理与算则：算理就是运算的依据，主要指运算性质、法则及方法、技巧等.算理确保每一运算步骤的合理性、整体运算的准确性、深刻性和灵活性.算则是运算的程序（步骤）的拟定规则，算法既重视“算则”，更重视“算理”.对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用.“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现.它确保运算的熟练性。分析：本题在常见恒成立问题模式上有所创新（由求解参数变为求参数的最值）.学生的思维品质层次体现在算法的优劣，其本质体现在对问题中数学信息的驾驭和把握，（“三点式”：入手点、关键点及警戒点）.算法一：算法关注点在二次函数的图象和性质：小题大做算法二：算法关注点在二次不等式进行参数分离：小题大做(三)、运算能力的基本要素：合理性、准确性、熟练性、简捷性06考纲对运算对象的描述运算能力界定为：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力是思维能力和运算技能的结合。中学对运算能力的考查，不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三解恒等变形、数列极限的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等.运算结果具有存在性、确定性和最简性.(1)运算的合