等差数列的性质课件

等差数列(二)知识回顾等差数列—几何意义—通项公式—递推公式（定义式）—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，当d=0时，为常函数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.daann1【说明】AAA①公式中NnRd,性质(1)在等差数列中，有nadmnaamn)(mnaadmn或•常用的等差数列的性质如下：等差数列中，若m＋n＝p＋q，则.特例：若m＋n＝2p，则.pnmaaa2naqpnmaaaana等差数列中，若公差d0，则数列为————；若d0，则数列为————；若d＝0，则数列为———．递增数列递减数列常数列早在200多年前，天才数学家高斯就发现了计算1+2+3+...+100的简便方法……性质(2)性质(3)(4)若{an}是公差为d的等差数列，则：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．(5)若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_______的等差数列．dcdpd1＋qd2例1.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10解：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523解：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}，若a10＝－26，a50＝54，则a60＝________.例2【思路点拨】利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.【解析】(1)∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.(2)在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，∴a50＝a10＋40d，∴d＝140(54＋26)＝2.∴a60＝a50＋10d＝54＋10×2＝74.【答案】(1)C(2)74变式训练1(1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.(2)由a1＋a15＝a4＋a12，得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.答案：(1)3(2)－4(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得＝16，于是d＝±4，故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2.例32d(2)设这四个数依次为a－3x，a－x，a＋x，a＋3x(公差为2x)，依题意，2a＝2，且(a－3x)(a＋3x)＝－8，即a＝1，a2－9x2＝－8，∴x2＝1，∴x＝1或x＝－1.又四个数成递增等差数列，∴x0，∴x＝1，故所求的四个数依次为－2,0,2,4.(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四个数．课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=-4-353.在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0研究性问题2.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，63.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===