平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、复习引入1.直线与平面垂直的定义、判定和性质l定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。mnA性质：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。'l二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则叫做平面的法向量或说向量与平面正交。nnnnm由平面的法向量的定义可知，平面的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。m模为1的法向量，叫做单位法向量，记作显然0n0||nnn正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1向量证法正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。1(0,1,0),(1,1,1)DADB解：建立如图所示的坐标系A-xyz，则A(0,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)ABCDA1B1C1D1xyz设是平面ADB1的法向量。那么(,,)nxyz100nDAynDBxyz00yxz令z=1，得(1,0,1)n一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。例题例1：已知点，，，其中求平面的一个法向量。)0,0,(aA),0,0(cC)0,,0(bB0abcABCxyzAOCBn解：由已知得),0,()0,,(caOAOCACbaOAOBAB),,(zyxnABC的一个法向量为设平面0),0,(),,(0)0,,(),,(czaxcazyxACnbyaxbazyxABn则xcazxbay,解得abzacybcx,,则令),,(abacbcncazbayx,,1则令),,1(caban有何关系？二、概念形成概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。abn已知：是平面内的两条相交的直线，且求证：,ab,nanbn二、概念形成概念3.平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。设A是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条件的点M的集合构成什么样的图形？n0AMnnAMM1M2我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。0AMn称此为平面的向量表达式。二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直2n1n设分别是平面的法向量，则有12,nn,12////nn或与重合1n12120nnnn已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1。二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF设，分别是平面DEA，A1FD1的法向量，则11112222(,,),(,,)nxyznxyz向量证法11,nDAnDE所以证明：如图所示，建立平面直角坐标系Dxyz。令DD1=2，则111111111(,,)(2,0,0)00(,,)(2,2,1)020xyzxxyzyz令111(0,1,2)yn同理可求2(0,2,1)n已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1。ABCDA1B1C1D1EFxyzD(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),E(2,2,1)12(0,1,2)(0,2,1)0nn12nn平面DEA⊥平面A1FD1。利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。例题1：已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．三、应用举例利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行(或共线)。设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0n2·C1B1→＝2x2＝0，得x2＝0z2＝－2y2.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.三、应用举例例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：(1)AD1//平面BDC1；(2)AC1⊥平面BDC1。证明：以D为坐标原点建立如图所示坐标系Dxyz，向量解法设正方体棱长为1，则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1)C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)。11(1,0,1),(1,1,1)ADAC设为平面BDC1的法向量，(,,)nxyz1(1,1,0),(0,1,1)DBDC1(,,)(1,1,0)0(,,)(0,1,1)0nDBxyznDCxyz例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：(1)AD1//平面BDC1；(2)AC1⊥平面BDC1。ABCDA1B1C1D1xyz00xyyz令x=1，得(1,1,1)nABCDA1B1C1D1利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向量与直线平行(或共线)的向量垂直；证明直线与平面垂直只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。射影：已知平面和一点A，过点A作的垂线与交于点，则就是点A在平面内的正射影，也可简称射影。二、概念形成概念5.用法向量证明“三垂线定理”预备知识：'AlA'A'ABl斜线在平面上的正射影：设直线与平面交于点B，但不和垂直，那么直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足。ll斜线在平面上的正射影：在直线上任取一点A，作A点在平面内的射影，则平面内直线叫做斜线在该平面内的射影。l'A'ABlA'A已知是平面的斜线，是在平面内的射影,直线且l'ABla'aAB二、概念形成概念5.用法向量证明“三垂线定理”三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。BlA'Aa求证：alA．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)[答案]B一、选择题1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM→＝AB→，则点B应为()[解析]∵OM→＝AB→＝OB→－OA→，∴OB→＝OM→＋OA→＝(9,1,1)．故选B.[答案]B2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC→＝23AB→，则C的坐标是()A．(2，－143，103)B．(－2，143，－103)C．(2，－143，－103)D．(－2，－143，103)[解析]∵AB→＝(－3,7，－5)，∴OC→＝23(－3,7，－5)＝－2，143，－103.故选B.A．λ＝28B．λ＝－28C．λ＝14D．λ＝－14[答案]D3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB→⊥AC→，则λ等于()[解析]由AB→⊥AC→⇔AB→·AC→＝0可求得．二、填空题4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.[答案]－43[解析]a⊥b⇔a·b＝0，代入坐标求解，得x＝－43.[解析]代入夹角公式，求得．5．已知两点A(－3,2,3)，B(3，－3,2)，O是坐标原点，则cos〈OA→，OB→〉＝________.[答案]－922三、解答题6．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.[证明]建立如下图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是(22，22，0)，(0,0,1)．∴NE→＝(－22，－22，1)．又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，(22，22，1)．∴AM→＝(－22，－22，1)∴NE→＝AM→，且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.[例6]如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥面ABCD，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．[分析]利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量．[解析]方法一：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.因为BF→＝BC→＋12CP→＝AD→＋12(CD→＋DP→)＝AD→＋12(AD→－AC→)＋32(AE→－AD→)＝32AE→－12AC→.所以BF→、AE→、AC→共面．又BF⊄平面AEC，从而BF∥平面AEC.方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B32a，－12a，0，C32a，12a，0，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E0，23a，12a，0，所以AE→＝0，23a，13a，AC→＝32a，12a，0，AP→＝(0,0，a)，PC→＝32a，12a，－a，BP→＝－32a，12a，a.设点F是棱PC上的点，PF→＝λPC→＝(32aλ，12aλ，－aλ)，其中0λ1.则BF→＝BP→＋PF→＝(32a(λ－1)，12a(1＋λ)，a(1－λ))令BF→＝λ1AC→＋λ2AE→，得32(λ－1)＝32aλ112a(1＋λ)＝12aλ1＋23aλ2，a(1－λ)＝13aλ2即λ－1＝λ11＋λ＝λ1＋43λ21－λ＝13λ2解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32.即λ＝12时，BF→＝－12AC→＋32AE→，即F是PC的中点时，BF→、AC→、AE→共面．又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.方法三：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.如图，取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.①由EM＝12PE＝ED，知E是MD的中点，∴BM∥OE，②由①②知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.