高中数学--常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数

1常见函数之正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx（k是常数，K≠0），那么，y叫做x的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k0时y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小。2、反比例函数(1)反比例函数及其图象如果)0,(kkxky是常数,那么，y是x的反比例函数。反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象（2）反比例函数的性质当K0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当K0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。3．对勾函数()bfxaxx的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。（1）对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）a0b0a0b0对勾函数的图像（ab同号）2一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。（2）对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，。当x0时，。即对勾函数的定点坐标：（3）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。（4）对勾函数的单调性（5）对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：（6）对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，对勾函数的图像（ab异号）yXOy=ax3