冲击波第四讲

2.4雨贡纽曲线及瑞利曲线冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本性质。为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即u0=0，这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨论结果的普遍意义。瑞利直线是(2.6)式，可写为（2.43）20020()Dpp雨贡纽关系式的一般形式是（2.44）000001,,2epeppp对于理想气体，它是(2.13)式，即（2.45）对取实用状态方程(2.30)式的凝聚介质，它是(2.31)式，即（2.46）其中。0001111pp0*0211pp2*00pc再则，(2.45)式及(2.46)式都表明，沿雨贡纽曲线压力p可以由0变到∞，而比容τ则只能在τmax与τmin之间变化，对于理想气体相应p=0及p=∞有对于凝聚介质max011min011max0min011关于曲线的形状，由(2.45)式及(2.46)式都看出，理想气体和凝聚介质的雨贡纽关系式都有（2.47）对大多数介质，都假设其状态方程p=g(τ，S)具有如下性质：（2.48）2200dpddpd000Sggg瑞利直线上熵的变化定理一若介质的状态方程p=g(τ，S)满足条件(2.48)式，则沿瑞利直线熵S最多只有一个极大值。现将瑞利直线的方程(2.43)写为(2.49)其中斜率，对于给定的直线它是一个常数，沿直线微分，得。考虑到沿直线还满足状态方程p=g(τ，S)，于是由此得dpd00ppSgdgdSdSgdSdg220D再作一次微商，得（2.50）若假设沿直线((2.49)式)熵有极值，则应有而由(2.50)式且考虑到条件(2.48)式，这时有（2.51）这就是说，若S有极值，则是极大值。由此也同时得知，沿该直线S不可能是常数。现在假设沿该直线S有两个以上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值，但是，由(2.51)式知道，所有的熵的极值都是极大值，所以，沿瑞利直线熵S最多只能有一个极大值。定理一证完。2222SSSSSSgggdSdSdSdggdgd0dSd220SgdSdg瑞利直线上雨贡纽函数的变化定理二瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的极值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的极值点。下列函数称为雨贡纽函数：（2.52）显然，H(τ，p)=0就是雨贡纽曲线。0001,2Hpeepp现对（2.52）式求微分，得（2.53）考虑到de=TdS－pdτ，(2.53)式化为(2.54)因为沿直线(2.49)式有(τ－τ0)dp－(p－p0)dτ=0，所以沿该直线有dH=TdS可见，在该直线上当dS=0时，就有dH=0，反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵S的极值点与雨贡纽函数H的极值点相重合。001122dHdedpppd0012dHTdSdpppd定理三若状态方程满足条件(2.48)式，则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有一个极值点。这实际上是以上两个定理的推论。因为沿瑞利直线S与H的极值点重合，而S的极值点最多只有一个，所以H的极值点也最多只能有一个。冲击波解的确定性要证明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点除初始点(τ0，p0)之外只有一个。现假设R直线与H曲线的交点超过两点，即出现如图(a)所示的情况，则沿R直线函数H的变化至少要出现两个以上极值，这与定理三矛盾。因此，R直线与H曲线相交的图像只能是如图(b)所示的情况，即交点最多只能有两个，一个是波前的“0”状态，另一个就是波后状态。瑞利直线（波速线）的物理意义波速线是一定波速的冲击波传过具有同一初始状态(p0,v0)的不同介质所达到的终点状态的连线。雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意义冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速冲击波传过同一初始状态点(p0,v0)的同一介质所达到的终点状态的连线。雨贡纽曲线与等熵线的关系首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初始点处二阶相切。同前H(τ，p)=0或p=G(τ)表示雨贡纽曲线，而等熵线为p=g(τ，S0)，其中熵S=S0为常数。由状态方程p=g(τ，S)可得S=S(τ，p)，于是沿雨贡纽曲线有S=S(τ，G(τ))=S(τ)，即熵只是τ的函数。所以，对雨贡纽曲线有,pGgS对此式求微商，得在初始点(τ0，p0)处有，于是得到这就证明了，雨贡纽曲线p=G(τ)与等熵线p=g(τ，S0)在点(τ0，p0)处二阶相切，图4.3中的曲线S就代表过点(τ0，p0)的等熵线。SdGggSd2222SSSSdGggSgSgSd000SS00020002,,dGgSddGgSd对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线（2.45）式求微商，得于是，在点(τ0，p0)处有这与理想气体的等熵线p=A(S)ργ在该点的一阶、二阶微商完全相等。0020411pdpd2003208111pdpd000dppd2020021dppd对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是(2.46)式，求微商得凝聚介质的等熵线是，它的微商为在(τ0，p0)点以上两曲线的相应微商相等。2020411cdpd2203208111cdpd200pASc22dpcd22231dpcd现在来看等熵线在(τ，p)平面上的分布情况。根据(2.48)式的前两点性质可知，等熵线也是单调向上凹的。又根据gS0得知，若S1S0，则对相同的τ值有，即熵值大的等熵线在上方。所以，不同熵值的等熵线的分布如图4.5所示。下节将证明，沿雨贡纽曲线熵随τ的减小而增加，即，又已知H=0与p=g(τ，S0)两曲线在(τ0，p0)处相切，所以曲线H=0位于等熵线p=g(τ，S0)的上方。由于沿雨贡纽曲线有而根据条件(2.48)式有gτ0，gS0，所以当时，有（2.55）并且或（2.56）这说明雨贡纽曲线比等熵线陡，故雨贡纽曲线是自下而上与等熵线S=S(τ，p)S0相交。后一个不等式还可写为这说明物质的等熵压缩率大于冲击压缩率。0HdSd,pGgS0HdSdSHHdpdSggdd0HdpdHdpgd,HgSdpd,HpSdpdp二次冲击波的雨贡纽曲线设介质中通过第一个冲击波之后，接着又出现第二个冲击波。若第一个冲击波把介质的初始状态(τ0，p0)变到了(τ1，p1)，则状态(τ1，p1)就是第二冲击波的波前状态。这两个冲击波的雨贡纽曲线是不重合的。事实上，第一个冲击波的雨贡纽曲线H0(τ，p)=0是以点A(τ0，p0)为起点的(图4.6)，而第二冲击波的雨贡纽曲线H1(τ，p)=0的起点则是B(τ1，p1)。因为在点B(τ1，p1)处曲线H0是与等熵线S1即p=g(τ，S1)相交，而曲线H1则是与该等熵线二阶相切，所以曲线H0与H1不可能重合。因为点B(τ1，p1)处的熵值S1大于点A(τ0，p0)处的熵值S0，所以等熵线S1位于等熵线S0的上方。对于曲线H0，根据(2.56)式在点B处有；而对曲线H1来说，在该点则有。因此，在点B处有注意到这两者都是负值，所以曲线H0比H1陡，即第二冲击波的雨贡纽曲线H1在第一冲击波的雨贡纽曲线H0的下方.11,HgSdpd11,HgSdpd10HHdpdpdd2.5冲击波基本性质(1)穿过冲击波时，压力、密度等各量的变化，与它们在可逆绝热过程中的相应变化之差，乃是冲击波强度的三阶以上项。这里对两种过程作比较，指的是它们的初始状态相同，且变化后它们的量中有一个量的终态值也是相同的，比如说两种过程最终都变化到相同的密度值。2.4节证明了，在初始点(τ0，p0)处等熵线与雨贡纽曲线二阶相切，这实际上就证明了上述性质。(2)穿过冲击波时，熵的增量是冲击波强度的三阶量。现沿雨贡纽曲线微分三次，得在点(τ0，p0)处有即dS=d2S=0，于是在该点有（2.57）因在点(τ0，p0)处有，所以（2.57）式给出（2.58）并且，当dτ0时，d3S0（2.59）这就证明了，熵是增加的，且其增量是冲击波强度的三阶量。32102TdSddp2220dpdGgd322230112022TdSdTdSdTdSddpdp33TdSd（2.61）或（2.62）2300201112SSSppTp2300201112SpSST(3)冲击波是压缩冲击波，即通过冲击波时压力和密度将增加。因为冲击波是不可逆过程，所以通过冲击波时S－S00，于是由(2.57)式或者(2.62)式看出，只要沿雨贡纽曲线在(τ0，p0)点有，则在该点就有dτ0，即通过冲击波时密度增加，从而压力亦增加。若，则得dτ0，即穿过冲击波时密度下降，也就是产生所谓的稀疏冲击波。以上结果说明，对于满足条件(2.47)式或者(2.48)式的介质，若沿雨贡纽曲线dS≠0(即一定是dS0)，则必定有dτ0。所以，欲证明冲击波的压缩性，实际只要证明沿雨贡纽曲线熵S(τ)的单调性。220dpd220dpd在初始点(τ0，p0)处熵S(τ)是单调的。现在需要证明，沿整条雨贡纽曲线熵S(τ)都是单调的。在雨贡纽曲线H(τ，p)=0上任给定一点(τ1，p1)，则过点(τ0，p0)及(τ1，p1)的瑞利直线R的方程为其中沿此直线dp=αdτ，有dH=TdS，即函数H与熵S的极值相重合。根据2.4节的定理一知，沿直线R的熵S只有一个极大值，于是有在点(τ0，p0)处(2.63)在点(τ1，p1)处(2.64)00pp其中1010pp0RdSd0RdSd现在假设沿曲线H(τ，p)=0在点(τ1，p1)处有dS=0,则由(2.54)式得知，在该点有这就是说，曲线H(τ，p)=0与直线R在点(τ1，p1)处相切，于是在该点有这一结果与(2.64)式相矛盾，所以，沿雨贡纽曲线H(τ，p)=0不能有dS=0，而只能有dS≠0。这就证明了，沿雨贡纽曲线熵是单调的。1010Hppdpd0RHdSdSdd(4)冲击波速度相对波前介质是超声速(D－u0c0)，相对波后是亚声速(D－uc)。已知沿着瑞利直线(2.49)式有其中α是直线R的斜率，，而由介质性质有，gS0。根据(2.63)式知，在(τ0，p0)处有，于是得D－u0c0而由（2.64）式得，在(τ1，p1)处有，略去下标“1”，则得D－ucSgdSdg222200DuDu22,gSc00,0gS11,0gS其实，此性质的前半部分可由图4.3立即看出。波后压力越大，则瑞利