量子力学-期末考试复习题

1量子力学考研模拟题(1)一、（30分）回答下列问题：（1）何谓微观粒子的波粒两象性？（2）波函数(,)rt是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2(,)rt的物理意义是什么？（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？（5）坐标x分量算符与动量x分量算符ˆxp是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。（6）厄米算符ˆF的本值nf与本征矢|n分别具有什么性质？二（20分）设氢原子处于211031102111111(,,)()(,)()(,)()(,)222rRrYRrYRrY的状态上，求能其量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。三、（25分）设厄米算符ˆH的本征矢为n,n构成正交归一完备函数系，定义一个算符nmnmU),(ˆ（1）计算对易ˆˆ,(,)HUmn（2）证明ˆˆˆ(,)(,)(,)nqUmnUpqUmp（3）计算阵迹ˆˆrkTFkFk（4）若算符ˆA的矩阵元为ˆ,mnAmAn证明,ˆˆ(,)mnmnAAUmn2),(ˆˆqpUATArpq四、（25分）自旋为2，固有磁矩为us（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场0ˆˆBBk中，设t=0时粒子处于2xs的状态。（1）求出t0时的波函数；（2）求出t0时ˆxs与ˆzs的可测值及相应的取值概率。五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为)(212ˆˆ22220yxMMpH，对其施加微扰xyWˆ后，利用微扰论求WHHˆˆˆ0基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。六、（25分）设粒子处于Ylm(,)态,求该态中Lx,Ly,Lz的平均值.量子力学自测题(1)答案一、（30分）回答下列问题：（1）何谓微观粒子的波粒两象性？解微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。（2）波函数(,)rt是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2(,)rt的物理意义是什么？解波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2(,)rt表示在ｔ时刻r附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？解当粒子在坐标趋向无穷远时，描述粒子状态的波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？解物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。（5）坐标x分量算符与动量x分量算符ˆxp是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。3解对易关系为ˆ,xxpi不确定关系为Δx·Δ2xp。（6）厄米算符ˆF的本值nf与本征矢|n分别具有什么性质？解本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。二（20分）设氢原子处于211031102111111(,,)()(,)()(,)()(,)222rRrYRrYRrY的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。解选2,,ZHLL为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为22412neEnnem(r,,)=()(,)nllmRrY其中量子数的取值范围是n=1,2,3,……；l=0,1,2,……，n-1；m=l,l-1,l-2,……，-l+1,-l利用归一化条件求出归一化常数为5421412121c氢原子的能量只与主量子数n有关，依题题可知，n的可能取值有两个，即n=2,3,于是2438eE；54542121)(2EW24318eE；515441)(3EW24242495118548eeeE角动量量子数l的可能取值只有一个，即l=1,故有22222;(2)1LwL222L角动量磁量子数m的可能取值有两个，即m=-1,0,于是hLz；525421zLW0zL；535441210zLW4225L三、（25分）设厄米算符ˆH的本征矢为n,n构成正交归一完备函数系，定义一个算符nmnmU),(ˆ（1）计算对易ˆˆ,(,)HUmn（2）证明ˆˆˆ(,)(,)(,)nqUmnUpqUmp（3）计算阵迹ˆˆrkTFkFk（4）若算符ˆA的矩阵元为ˆ,mnAmAn证明,ˆˆ(,)mnmnAAUmn),(ˆˆqpUATArpq解（1）对于任意一个态矢，有ˆˆ,(,)HUmnˆˆˆˆ(,)(,)HUmnUmnHˆˆHmnmnHˆˆ(,)(,)mnEUmnEUmnˆ()(,)mnEEUmn故ˆˆˆ,(,)()(,)mnHUmnEEUmn（2）ˆˆˆ(,)(,)(,)nqUmnUpqmnqpUmp（3）算符的阵迹为ˆˆ(,)(,)kTrUmnkUmnkkkmnkmnknkkmnm（4）算符,ˆˆˆmmnAmmAmmAnn,ˆ(,)mnmnAUmn而5ˆˆpqApAqpkkAqˆˆˆ(,)kkkAqpkkAUpqkˆˆ(,)TrAUpq四、（25分）自旋为2，固有磁矩为us（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场0ˆˆBBk中，设t=0时粒子处于2xs的状态。（1）求出t0时的波函数；（2）求出t0时ˆxs与ˆzs的可测值及相应的取值概率。解体系的哈密顿算符为00ˆˆˆˆˆˆ2EzzBHBBs－在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为1;E12;E2（1）在t=0时，粒子处于2xs的状态，即(0)x式中，x是xˆ相应于本征值为1的本征态。为了求出x在泡利表象中的具体形式，需要求解xˆ满足的本征方程0110aabb解之得12x12x于是有1(0)112x由于哈密顿算符不显含时间，故t0时刻的波函数为6tEitEit21exp21exp21)(11expexp22iitt（2）因为ˆˆ[,]0,zHs所以zs是守恒量，它的取值概率与平均值不随时间改变。换句话说，只要计算出t=0时，zs的取值概率，就知道了t0时zs的取值概率。由于1,0;22zWs1,022zWs故有0zsxs的取值概率为2,()2xxWstt2expexp21titi221expexpcos2iittt而2,sin2xtWst五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为)(212ˆˆ22220yxMMpH，对其施加微扰xyWˆ后，利用微扰论求WHHˆˆˆ0基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：1,1,2121nmnmnmnnx，其中n为线谐振子的第n个本征矢。解体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0其中722222021ˆˆ21ˆyxppHyxxyWˆ已知0ˆH的解为)1(0nEn)()(),(21yxyxnnni其中n1、n2、n=0,1,2，…i=1,2,3,…，fn将前三个能量与波函数具体写出来00E；)()(000yx201E；)()(1011yx)()(0112yx302E；)()(0221yx)()(2022yx对于基态而言，n1=n2=n=0,f0=1,体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmnmnnxx可知0ˆ00)1(0WE0100000)2(0ˆˆnfinnininEEWWE显然，求和号中不为零的矩阵无只有20232302ˆˆWW于是得到322420200)2(0841EEE第二激发态为3度简并，在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程)()(1123yx8)1(211EW12W13W21W)1(222EW23W=031W32W)1(233EW其中W11=W22=W33=W12=W21=0W13=W31=W23=W32=22于是得到2)1(21E；0)1(22E；量子力学考研模拟题（3）参考答案一、（20分）质量为m的粒子做一维自由运动，如果粒子处于)(sin)(2kxAx的状态上，求其动量p与动能T的取值概率分布及平均值。解做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为dxdipˆ；mpT2ˆˆ2显然两者相互对易，有共同完备本征函数pxixpexp21)(分别满足)()(ˆxpxppp)(2)(ˆ2xmpxTpp将)(x向)(xp展开，即dpxcxpp)()(展开系数dxxxcpp)()(*dxiikxikxxAp2*2)exp()exp()(9dxikxikxxAp)2exp(2)2exp()(4*dxxxxxAkkp)()(2)(2)(4202*)2()0(2)2(24kppkpA只有当p=0，±2k时，0pc。利用归一化条件ppc12可知，归一化常数为34A于是归一化后的展开系数为612kc；320c；612kc动量的取值概率为61)2(kpW；32)0(pW；61)2(kpW平均值为0)(pppWp动能的取值概率与动量相同，而平均值为mkpWmpTp32)(2222二、（20分）质量为m的粒子处于如下一维势阱中)0(0)(0VxV)()0()0(axaxx若已知粒子在此势阱中存在一个能量20VE的本征态，试确定此势阱的宽度a。解对于002VVE的情况，三个区域中的波函数分别为0)(1x)sin()(2kxAx10)exp()exp()(3xCxBx其中mEk2；)(20EVm当x时，0)(3x，于是C=0。在x=0处，)()(21xx，故有，0sinA，即n，于是波函数简化为0)(1x)sin()sin()(2kxAnkxAx)exp()(