高中数学选修2-2导数及其应用单元测试卷

第1页共6页章末检测一、选择题1.设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A.2B.－1C.1D.－2答案B解析limx→0f1－f1－2x2x＝limx→0f1－2x－f1－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.2.函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()A.(－∞，－1)和(0,1)B.(－1,0)和(1，＋∞)C.(－1,1)D.(－∞，－1)和(1，＋∞)答案A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3.一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为()A.3JB.233JC.433JD.23J答案C解析由于F(x)与位移方向成30°角.如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝12(5－x2)·cos30°dx＝3212(5－x2)dx＝325x－13x321＝32×83＝433(J).4.若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx等于()A.－1B.－13第2页共6页C.13D.1答案B解析∵f(x)＝x2＋201f(x)dx，∴01f(x)dx＝(13x3＋2x01f(x)dx)10＝13＋201f(x)dx，∴01f(x)dx＝－13.5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－3)B.[－3，3]C.(3，＋∞)D.(－3，3)答案B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3.6.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A.e2B.ln2C.ln22D.e答案D解析∵f′(x)＝x(lnx)′＋(x)′·lnx＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.7.设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)()A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点C.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点D.在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f′(x)＝x－33x，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；令f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3＜0；又f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，f1e＝13e＋1＞0.第3页共6页8.已知一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1m处运动到x＝3m处，则力F(x)所做的功为()A.10JB.12JC.14JD.16J答案C解析力F(x)所做的功W＝13F(x)dx＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J).9.由x轴和抛物线y＝2x2－x所围成的图形的面积为()A.05(2x2－x)dxB.05(x－2x2)dxC.012(x－2x2)dxD.012(x＋2x2)dx答案C解析先计算出抛物线与x轴的交点的横坐标，分别为x1＝0，x2＝12，且在0＜x＜12内，函数图象在x轴下方，则由定积分的几何意义可知，所求图形面积的积分表达式为012(x－2x2)dx.10.函数f(x)＝xex－ex＋1的单调递增区间是()A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e，＋∞)D.(e－1，＋∞)答案D解析f′(x)＝ex＋xex－ex＋1＝(x－e＋1)ex，由f′(x)＞0，得x＞e－1.故选D.二、填空题11.若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝.答案－1解析求导得y′＝k＋1x，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.12.已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是.答案a≥3解析由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立，故a≥3.13.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：第4页共6页①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－12处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值.其中正确的说法有.答案①④解析从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确.14.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014的值为.答案－1解析∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.∴log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014＝log2015(x1·x2·…·x2014)＝log201512·23·…·20142015＝log201512015＝－1.三、解答题15.设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.第5页共6页(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16.设23a1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b.解令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.f(0)＝b，f(a)＝－a32＋b,f(－1)＝－1－32a＋b，f(1)＝1－32a＋b.因为23a1，所以1－32a0，故最大值为f(0)＝b＝1，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝63.故a＝63，b＝1.17.已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)求证(x－1)f(x)≥0.(1)解f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1，当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.x＝1是g(x)的极大值点，也是最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞).(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋xlnx＋1x－1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0.∴(x－1)f(x)≥0.第6页共6页18.已知函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(a＞0).(1)当f(x)的极小值为－73，极大值为－1时，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)，令f′(x)≥0，得a≤x≤3a，令f′(x)≤0，得x≥3a或x≤a，∴f(x)在(－∞，a]上是减函数，在[a,3a]上是增函数，在[3a，＋∞)上是减函数，∴f(x)在x＝a处取极小值，在x＝3a处取极大值.由已知有fa＝－73，f3a＝－1，即－13a3＋2a3－3a3＋b＝－73，－13×27a3＋18a3－9a3＋b＝－1，解得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝－13x3＋2x2－3x－1.(2)由(1)知f(x)在(－∞，a]上是减函数，在[a,3a]上是增函数，在[3a，＋∞)上是减函数，∴要使f(x)在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上是减函数，则必须有a≤1，3a≥2，3a≤6，解得23≤a≤1.