《复合函数的导数》PPT课件

1.2.2复合函数的导数基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x复习：导数的运算法则1?()gx()()()()fxgxfxgx()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx[cf(x)]’=Cf‘(x)(c为常数)2()?()gxgx复习：1).求函数y=(3x-2)2的导数.2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.是否还有用其它的办法求导呢?想一想???探究：二、新课——复合函数的导数：1.复合函数的概念:对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x))函数内层函数外层函数复合函数定义域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B问题1:指出下列函数的复合关系：)())sin()112nmyabxyxx),1mnyuuabx)sin,12yuuxx解:log())ln)222333243xxxyey)ln,,332xyuuvve),log,224323uyuvvxx2.求复合函数的导数如:求函数y=(3x-2)2的导数,注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为2)法则可以推广到两个以上的中间变量.3)在书写时不要把写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导.)(x)]([)]([xfxfx((()))yfgux''''guxyfgu;xuxuyy[()]()().xfxfux或令y=u2,u=3x-2,1218xuyyxux则从而2,3,uxyuu.xuxyyu(1)[()](),g().yfgxyfuux那么3.复合函数的求导法则(2)(),g(),().yfuuvvhx那么'.xuvxyyuv应用举例例1：求下列函数的导数：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(πx+φ);(π,φ为常数)(3)y=ln(x+2)复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代.22cos(2).cos2sin24.sin2cos2.22cos(2)4AyxByxxCyxxDyxsin2cos2yxx函数的导数是()A练习：41(1);(13)1:.yx例求下列函数的导数5ux5x445ux:1u13x,yy4u,u3,yyu11,12.(13)2uuux解令则题型一复合函数的求导方法21:. 2ycosx;例求下列函数的导数(2)令u=x2,则y=cosu,∴y′x=y′u·u′x=-sinu·2x=-2xsinx2.(3).(2);31:ysinx例求下列函数的导数xux3u2xysinu,y,3).3yucosu22cos(2x令则21:.(4)1.yx例求下列函数的导数1212u2xx2 4u1x,yuyyu2xxu1.212.1uxx令则规律技巧:求复合函数的导数,要分清函数的复合关系,对于分式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量.最后将中间变量代回到原自变量的函数.25x2121:. 3ylnlnx;41(1);(y2)();(13e.)6yysinxx变式训练求下列函数的导数6xu6556x:1u13x,yyyu1,15.(5u315u13)uux解令则222xux 2uxysinu,yyuc,6)osu(x2xcosu2x).6cos(x6令则xux 3ulnx,ylnu,111.yyuuxxlnx令则xux2uuxux2x21 3ulnx,ylnu,yyu 4u2x1,ye,yyue4x114xe.1.uxxlnx令则令则例2:求下列函数的导数.(1)y=(x2-4)2;解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16∴y′=(x4-8x2+16)′=4x3-16x.(方法2)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin(ax+b)222221(231)2ylog2x3x12x3x1243.(231)2xxlnxxxln(3)y′=[esin(ax+b)]′=esin(ax+b)[sin(ax+b)]′=esin(ax+b)·cos(ax+b)·(ax+b)′=acos(ax+b)·esin(ax+b).变式训练2:求下列函数的导数.132232223223223:(1)31(31),1(31)(31)312(31)6.3(31)yyxxxxxxxx解323(1)31;(2)3.yxysinxsinx(2)y′=(sin3x+sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2x·cosx+3x2cosx3.1、求下列函数的导数：xyeyxyxyx1ln)4(;)3(;)31()2(;)32()1(2322、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。题型二求导法则的综合应用例3:已知函数f(x)是关于x的二次函数,其导函数为f′(x),x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函数f(x)的解析式.解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.又x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,变式训练3:已知函数f(x)是关于x的三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f′(0)=0,得c=0,32323,1240,1,3.f13,f20,fxx3x3.ababab由得解得小结：•⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；•⑵复合函数求导的基本步骤是：•分解——求导——相乘——回代求下列函数的导数:解:)()(xxxxxxy12124333(2)51xxy解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)()(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得:得:故为奇函数.)()()())((xfxfxfxxf)(xf同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).两边同时对x求导得:也是以T为周期的周期函数.),())((xfTxTxf).()(xfTxf)x(f例5:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy)].(cos)(sin[2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin))(cos(cos))(sin(sin])(cos)(sin[)3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直.证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,5,522xxyxy;23|31xyk同理由4x2+9y2=72得;94894,94822xxyxy.32|32xyk因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.