直线与平面的夹角

复习引入1．直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。引课我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?PA斜足斜线1、定义：平面的斜线的斜线叫做斜交，直线与平面直线相交但不垂直时，叫做与平面当直线lll点在平面内的射影外一点时：为平面A上一点时：为平面A内的射影在就是点，则于若AOOAOAA内的射影就是在斜线斜足射影垂足垂线一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。规定:想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?PABP11、定义：l与其在平面上斜线射影的所成的，锐角.l叫做直线与平面所成的角注：1l当时，902当时，0//ll或2、范围：1斜线与平面(0,90)2直线与平面[0,90]线面角求解步骤：1、作——作出斜线与射影所成的角2、证——论证所作的角就是要求的角3、求——通常是解由垂线段、斜线段、斜线射影所组成的直角三角形所成的角平面和中，求例：在正方体CDBABADCBAABCD1111111A1ABB1CDC1D1OOAOC111点，连接于，交连接CBB111BCBCBCCD面面CDBABCBCCBBCCD111111面内的射影在面为CDBABAOA1111所成的角和面为CDBABAOBA1111aOBaBAOBAa222RT11,,中，则在设正方体边长为2111BAOBOBA中sin30111所成的角为和平面CDBABA所成的角与求的斜线，是内，在平面例：OAaBCaOCOBOAAOCAOB,,,260OABOCBOCA60AOCAOBaOCOBOA,aABACAOBAOC都为正三角形,都为等腰直角三角形ABCBOCaBC,2OEAEEBC，，连接中点取EaOEBCAE22AE且,OEAEaOA面AE所成的角与为OAAOE45OA45为所成的角与AOE解：PABP1l(1)三垂线定理1PPl1lAPlAP(2)三垂线逆定理1PPllAPl1AP应用：C1D1B1A1CDAB1AAAC面BDAC面BDACBD1AC三垂线定理及其逆定理PABP1前提：平面外一点从引斜线段斜线段相等射影相等应用：______如果三棱锥的三条侧棱相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的BADCO外心射影定理拓展:PCBAO若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心PBC面PAPCPAPBPAAOBCABCBCBCAPBCPO面面ACOAB同理______如果三棱锥的三个侧面上的高相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的EBADCFHO内心OEBCBCDBCBCAEBCDAO面面OFCDOHBD，同理AOFRTAOHRTAOERT且OFOHOE130,45.RtABCABACBCCDABCD、已知的斜边在平面内，和与所成的角分别是，是斜边上的高，求与所成的角ABCDC1解：11,CCC作于1CD连1.CDC则即为所求11,.ACBC连1CAC则301CBC451CCa设CA2aCB2aRtABC在中，AB6aCDACBCAB233a1RtCCD在中，1sinCDC1CCCD321CDC6060CD与所成的角为290,3,4,60RtABCAABACPAABCPABPACPAABC、如图，在中，是平面的斜线，。求与平面所成角的大小；APCBODE解：,POABCO作面于,OA连.PAO则即为所求,ODABD作于PD连接,OEACE作于PE连接ABPDACPEPABPAEPDAPEAADAEADOE四边形为正方形ADa设AO2aRtPDA在中，60PABPA2aRtPOA在中，cosPAOAOPA22PAO4545PAABC与平面所成的角为