金融数学课件(南京大学)

2020/2/161金融数学南京大学金融与保险学系2020/2/162导论第一章金融数学基础第二章金融市场第三章资产组合复制和套利第四章股票与期权的二叉树模型第五章连续时间模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章对冲第八章互换第九章债券模型金融数学2020/2/163导论在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数学（FinancialMathematics）应运而生。2020/2/164如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源进行跨期的最优配置？荒岛鲁宾逊传奇（RobinsonCrusoe）思路：求一个终身的跨期最优消费／投资问题；工具：随机最优控制（Stochasticoptimalcontrol）导论2020/2/165被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(RobertC．Merton)曾这样说过：优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实用。导论2020/2/166导论一、金融与金融数学二、金融数学的发展历程三、金融数学的结构框架2020/2/167一、金融与金融数学金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的重要组成部分。金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。如何理解其与传统经济学的联系与区别？金融学宏观金融学金融决策微观金融学中央银行学货币政策分析金融监管学国际金融学证券投资学公司财务学金融市场学金融工程学商业银行学投资银行学微观银行学金融中介金融风险管理金融资产定价金融数学金融计量经济学理论层次应用层次货币银行学金融经济学风险管理与保险金融机构学2020/2/169微观金融分析和宏观金融分析分别从个体和整体角度研究金融运行规律。金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。”金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风险转移和控制等。一、金融与金融数学2020/2/1610宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体系等问题。与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微观部分。一、金融与金融数学2020/2/1611完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。一、金融与金融数学2020/2/1612金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。一、金融与金融数学数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。金融学：研究运作“金钱”事务的科学。金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在。2020/2/1613金融数学是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交易，金融数学则是通过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论及动态投资组合理论。一、金融与金融数学2020/2/1614金融数学研究的主要内容：风险管理效用优化金融数学的主要工具是随机分析和数理统计（特别是非线性时间序列分析）。一、金融与金融数学2020/2/1615一、金融与金融数学依据研究方法：金融数学规范金融数学实证金融数学2020/2/1616规范金融数学：强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融原理进行推导。如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。实证金融数学：强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。一、金融与金融数学2020/2/1617金融数学的研究历程大致可分为三个时期：第一个时期为发展初期：代表人物有阿罗（K.Arrow）、德布鲁（G.Debreu）、林特纳（J.Lintner）、马柯维茨（H.M.Markowitz）、夏普（w.Sharp）和莫迪利亚尼（F.Modigliani）等。二、金融数学的发展历程2020/2/1618尽管早在1900年，法国人L·巴恰利尔(LouisBachelier)在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星，因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。马科维茨(H．Markowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。稍后，莫迪利亚尼和米勒(ModiglianiandMiller，1958)第一次应用无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。二、金融数学的发展历程2020/2/1619这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利理论联系起来。二、金融数学的发展历程2020/2/1620第二个时期为1969-1979年：这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人物有莫顿（R.Merton）、布莱克（F.Black）、斯科尔斯(M.Scholes）、考克斯（J.Cox）、罗斯（Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）、莱克(S.Lekoy）、卢卡斯（D.Lucas）、布雷登（D.Breeden）和哈里森（J.M.Harrison)等。二、金融数学的发展历程2020/2/1621首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(KrausandLitzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton，1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。二、金融数学的发展历程2020/2/1622二、金融数学的发展历程1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯(BlackandScholes，1973)推导出简单的期权定价公式，以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(HarrisonandKreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theoryofmartingalepricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法开始使用。2020/2/1623金融数学发展的第三个时期：1980年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲（D.Duffie）、卡瑞撤斯（I.Karatzas）、考克斯（J.Cox）、黄（C.F.Huang）等。二、金融数学的发展历程2020/2/16241980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位置，达菲和黄(DuffleandHuang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱克-斯科尔斯模型。在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克(DiamondandDybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(HolmstromandTirole，1993)又以道德危险(moralhazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。二、金融数学的发展历程2020/2/1625三、金融数学的结构框架金融数学数学基础金融数学理论金融数学应用微积分线性代数概率论随机过程计量经济学资产组合理论资本资产定价模型套利定价理论布朗运动与伊藤方程布莱克方程金融风险的测度模型汇率测度与定价模型市场有效性测度与分析2020/2/1626第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学在金融数学中的应用。第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和期权定价模型。第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇市场、证券市场的应用。三、金融数学的结构框架2020/2/1627第一章金融数学基础第一节微积分在数理金融中的应用第二节线性代数在数理金融中的应用第三节随机过程在数理金融中的应用2020/2/1628第一节微积分在数理金融中的应用一、指数和对数函数的应用（一）连续复利和实际利率(1)APPrPr若在任何时刻，某人在银行存款总额为A(t)，计算周期为h0，则在t=h，初始的存款总额A(0)增至A(h)[0,]tT()(0)()AhARh2020/2/1629第一节微积分在数理金融中的应用()()(0)RhAhA利息仅仅考虑利息的大小是没有意义的，必须考虑本金和存期()(0