19. 2012年全国高中数学联赛湖南竞赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年湖南省高中数学竞赛一．选择题（每小题6分，共30分）1.若实数x满足：对任意正数a，均有21xa＜，则x的最小值是（）．（A）0（B）1（C）1（D）不存在2.在四个函数sin||yx，cos||yx，|tan|yx，ln|sin|yx中，以π为周期在π02，上单调递减且为偶函数的是（）．（A）sin||yx（B）cos||yx（C）|tan|yx（D）ln|sin|yx3.数列na共有11项，10a，114a，且1||1kkaa，1210k，，，，满足这些条件的不同数列的个数为（）．（A）100（B）120（C）140（D）1604.设实数1r＞，如果复平面上的动点z满足||zr，则动点1zz的轨迹是（）．（A）焦距为4的椭圆（B）焦距为4r的椭圆（C）焦距为2的椭圆（D）焦距为2r的椭圆5.如果直线10axby平分圆C：222410xyxy的周长，那么ab的取值范围是（）．（A）14，（B）18，（C）104，（D）108，6.半径为R的球内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r的可能的取大值为（）．（A）32+3R（B）63+6R（C）11+3R（D）52+5R二．填空题（每小题8分，共48分）7.已知集合224()(1)(2)5Axyxy，，|1|2|2|Bxxya≤，且AB，则实数a的取值范围是_______．8.方程316281536xxx的解为_______．9.若对任意实数x，都有1()log(2e)1xafx≤，则实数a满足的条件是_______．(其中e为无理数，e2.71828)10.若向量3ab垂直于向量57ab，并且向量4ab垂直于向量27ab，则向量a与b的夹角为_______．11.边长为4的正方形ABCD沿BD折成60二面角，则BC中点与点A的距离为_______．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃12.用红、黄、蓝三种颜色给正五边形的顶点着色，则没有相邻两个顶点颜色相同的概率为_______．三．解答题(共72分)13.(本小题满分16分)已知0p＞，过抛物线22ypx焦点的直线斜率为k，且交抛物线于点AB，，记()||fkAB．（1）试求()fk的解析表达式；（2）是否存在抛物线上的点C，使得ABC△为等腰直角三角形且C为直角顶点？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．14.(本小题满分16分)如图所示，在某工程项目中为了测量圆弧的半径R，用三个完全相同的小球放在圆弧上，使圆弧的每个接触点都相切，小球的高度差为h，小圆的半径为r，试将R表示为关于h和r的关系式，并求出当100r，40h时，R的取值．15.(本小题满分20分)已知函数()exfxx，(其中e为无理数，e2.71828)．（1）若函数2()()1gxfxax的导函数()gx在[0)，上是增函数，求实数a的最大值；（2）求证：11111234(2)fffnnn＞，其中*nN．16.(本小题满分20分)设na是正项递增的等差数列，求证：（1）对任意的*klN，，当2lk≥＞时，1111lllkkkaaaaaa；（2）对任意的*kN，当2k≥时，20131222322012220122112131201212kkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaa＜＜．