届高考数学总复习考试考点专项教案立体几何

1/15第七模块立体几何综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α解析：本题考查的是立体几何的知识，属于基础题．选项A错误，本项主要是为考查面面垂直的性质定理．事实上选项A的已知条件中加上m⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.答案：D2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.12cm3B.13cm3C.16cm3D.112cm3解析：本题考查的是简单几何体的三视图．由三视图的知识可知题中的三视图表示的几何体是三棱锥，且三棱锥的底面三角形的高与底边都为1cm，三棱锥的高为1cm.故体积V＝16cm3，选C.2/15答案：C3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：∵m∥α，m∥β，则m∥l，故AB∥m，AC⊥m，AB∥β都成立，C∈α时，AC⊥β成立，但C∉α时AC⊥β不成立．答案：D4．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离是球半径的14，且|AB|＝5，AC·BC＝0，那么球的表面积为()A.803πB.203πC.3203πD.809π解析：设球半径为R，球心到截面的距离d＝14R，则截面圆半径r＝R2－d2＝154R，又AC·BC＝0，则AB为截面圆的直径．∴152R＝5，R＝2153，∴S球＝4πR2＝803π.故选A.答案：A5．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线、z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④B．①③C．②③D．①②答案：C6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A.2B．62C.13D．22解析：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图是底面的边长为1，高为直观图中正方形的对角线的2倍，即为22的平行四边形．3/15V＝13×1×22×3＝22.应选D.答案：D7．已知a＝(－1,0,2)，平面α过点A(3,1，－1)，B(1，－1,0)，且α∥a，则平面α的一个法向量是()A．(4，－3,2)B．(1，34，12)C．(－4，－3,2)D．(－2，32，1)解析：设平面α的法向量是n＝(x，y，z)．AB＝(－2，－2,1)．则－2x－2y＋z＝0－x＋2z＝0，∴x＝2zy＝－32z，∴令z＝2，则x＝4，y＝－3，则平面α的一个法向量为(4，－3,2)．故选A.答案：A8．如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与平面ACC1A1平行D．平面EFB与平面BCC1B1垂直解析：过E、F分别作EE′⊥AB于E′，FF′⊥BC于F′，连接E′F′，则EF綊E′F′，E′F′⊥BB1，E′F′⊥BD.∴EF⊥BB1，EF⊥BD，4/15故A、B正确．又E′F′∥AC，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACC1A1，故C正确．应选D.答案：D9．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，动点P在ABCD内，且P到直线AA1，BB1的距离之和等于22，则△PAB的面积最大值是()A.12B．1C．2D．4解析：连结PA、PB，则PA、PB分别是P到直线AA1、BB1的距离，即PA＋PB＝22，∵AB＝2，故P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，当P点为短轴的端点时，△PAB底边AB上的高最大值为1，△PAB的面积最大值为1，故选B.答案：B10.(2008·海南·宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A．22B．23C．4D．25解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．5/15如图，设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得m2＋n2＋k2＝7，m2＋k2＝6⇒n＝1，1＋k2＝a，1＋m2＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6⇒a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝！”#$%&'()*＋，－./012345b2＝16⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．答案：C11．如图所示，从平面α外一点P向平面α引垂线和斜线，A为垂足，B为斜足，射线BC⊂α，且∠PBC为钝角，设∠PBC＝x，∠ABC＝y，则有()A．xyB．x＝yC．xyD．x，y的大小不确定解析：过A作AD⊥BC，垂足D在CB的延长线上，连结PD，∴PD⊥BC，cos∠PBA＝ABPB，cos∠ABD＝BDAB，cos∠PBD＝BDPB，∴cos∠PBA·cos∠ABD＝cos∠PBD.又∵∠PBC为钝角，∴∠PBD为锐角，∴cos∠PBDcos∠ABD，∴∠PBD∠ABD，∴x＝180°－∠PBD，y＝180°－∠ABD，∴xy.应选C.答案：C6/1512．如图所示，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA＝4，C为PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是()A.53B.253C.63D.263解析：∵AB⊥OB，AB⊥OP，∴AB⊥平面PBO，又AB⊂平面PBA，∴面PAB⊥面POB.又∵OH⊥PB，∴OH⊥面PAB，∵HC⊂面PAB，PA⊂面PAB，∴OH⊥HC，OH⊥PA，又C是PA的中点，∴OC⊥PA，∴PC⊥面OHC.∴VO－HPC＝VP－HCO＝13·S△HOC·PC，PC＝2，则当S△HOC最大时，VO－HPC最大．此时OH＝HC，HO⊥HC.又OC＝12PA＝2，∴HO＝2，∴HO＝12OP，∴∠HPO＝30°，∴OB＝OPtan30°＝263.故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.解析：当VC⊥VA，VC⊥VB，有VC⊥平面VAB，∵AB⊂平面VAB，∴VC⊥AB.填VC⊥VA，VC⊥VB.答案：VC⊥VA，VC⊥VB14．已知a，b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与平面β的位置关系是________．答案：平行15．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为________cm2.7/15解析：正确画出几何体的直观图是解答三视图问题的关键．如图，由三视图可得该几何体为一正四棱锥S—ABCD，其中底面为边长为8的正方形，斜高为SH＝5，在Rt△SOH中，OH＝4，所以SO＝3，所以△SBC的面积为：12×SH×BC＝12×8×5＝20，故侧面积为20×4＝80cm2.答案：8016．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E1、F1分别是线段A1B1、A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是________．解析：本题考查异面直线所成角的求法．如图所示，取BC中点G，连结AG，F1G，E1F1，容易证得E1F1GB为平行四边形．则∠AF1G是异面直线BE1与AF1所成的角或其补角．8/15设棱长为2，则E1F1＝1，AF1＝6，GF1＝BE1＝5，AG＝5，∴由余弦定理cos∠AF1G＝AF21＋GF21－AG22·AF1·GF1＝6＋5－52·30＝3010.答案：3010三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1.(2)设E是B1C1上一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1，请给出证明．证明：(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)由(1)，得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，四边形DEB1B是平行四边形．∵B1B∥DE，且B1B＝DE，又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD.而EA1⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE.(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN∥平面DAE.证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF，又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.9/15又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)取DE的中点P，连结PA、PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN∥DC，且PN＝12DC.又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM＝12DC，所以PN∥AM，且PN＝AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP.而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE.19．如图所示，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为线段BC的中点，求证：A1E∥平面DCC1D1.证明：(1)因为BA＝BC，DA＝BD，所以BD是线段AC的垂直平分线．所以BD⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)因为AB＝BC＝CA＝3，DA＝DC＝1，所以∠BAC＝∠BCA＝60°，∠DCA＝30°.连接AE.因为E为BC的中点，所以∠EAC＝30°.所以∠EAC＝∠DCA.所以AE∥DC.因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.因为棱柱ABCD—A1B1C1D1，所以AA1∥DD1.因为DD1⊂平面DCC1D1，AA1⊄平面DCC1D1，所以AA1∥平面DCC1D1.因为AA1⊂平面AA1E，AE⊂平面AA1E，AA1∩AE＝A，所以平面AA1E∥平面DCC1D1.因为A1E⊂平面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.10/1520．四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E点满足PE＝13PE.(1)求证：PA⊥平面ABCD.(2)在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由．(3)求二面角E—AC—D的余弦值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC.又∵PB⊥BC，∴BC