第一章-量子力学基础习题1

第一章量子力学基础习题课2009.03.16公用邮箱：[e-mail]密码：jluchem一.光与实物粒子的波粒二象性•重要的实验现象:1.黑体辐射:说明能量是量子化的,2.光电效应:说明光具有粒子性,光的干涉、衍射现象说明光具有波动性。Jsh3410626.6基本知识Ek=h-h0=h(-0)=(1/2)mv2W0＝h0（脱出功，金属固有、0临阈频率）2021ｖmchch•3.电子衍射：电子照射到晶体表面上时发生衍射，能够在屏幕上获得明暗相间的环纹。说明电子不仅具有粒子性，还具有波性。基本知识Bragg公式：2dsin=n：反射光（衍射线）与晶面之间的夹角，衍射角；：2，反射光与入射光方向的夹角；d：晶体的面间距n：衍射级数：电子的De-Broglie波长ｖmhph光与实物粒子的波粒二象性光实物粒子波性u：实物粒子波的传播速度粒子性v：实物粒子的运动速度二象性当粒子V(r)=0时cumcpmcE2hphEｖ＋ｖmprmE)(V212hphEu221v2121222；ｖ＝ｖｖ；ｖmummuhmh基本知识二.量子力学的五个基本假定1.波函数：是体系中所有粒子坐标的函数，也是时间的函数。(xyzt)=(x1y1z1,x2y2z2,t）在化学中所有涉及的波函数均为定态波函数。定态：几率密度不随时间t改变而变化。物理意义：∣(r,t)∣2＝*在原子、分子等体系中，代表原子轨道或分子轨道，将*称为几率密度，即通常所说的电子云。基本知识2.算符：微观体系的每一个可观测力学量(如能量、动量、角动量、坐标、时间等)都与一个线性厄米算符相对应。xuFcxuFcxuFcxucxucxucFnnnnˆˆˆ][ˆ22112211线性算符厄米算符dxuFudxuFu*122*1)ˆ(ˆ算符对易0]ˆ,ˆ[BA0)(ˆˆ)(ˆˆxuABxuBA若两算符对易，则二力学量同时有确定值。基本知识3.本征函数aAˆ若某一力学量A的算符作用于某一状态ψ后，等于一常数a乘以ψ，则力学量A有确定值,a是算符的本征值,ψ是算符的本征函数(或本征态)，ψ=aψ称为本征方程。AˆAˆAˆAˆdrrdrraa)()()(ˆ)(aAˆ则体系处于这个状态时没有确定值，可计算平均值。)()(ˆ)(*是归一化的drraa基本知识4.Schrodinger方程在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger方程:)()()](2[22rErrVm)()(ˆrErH实质是能量算符的本征方程。解法：一维箱精确求解三维箱分离变量法平面刚性转子基本知识5.态叠加原理若Ψ1、Ψ2、•••Ψi、•••Ψn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合也是该体系的可能状态。iniinncccc12211式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献的大小。iniiiiiiiiacCaCaaA2122ˆ基本知识三.简单应用1.一维箱中粒子2.三维箱中粒子三个方向一维箱的叠加。立方箱：简并态：能量相同的不同状态；简并度：能量相同的不同状态数。3.刚性转子（平面）xanaxxsin22228mahnEx基本知识zcnybnxanabcxyzzyxsinsinsin8)(mhcnbnanEzyx8)(2222222•1.3计算波长λ＝400nm的光照射到金属铯上，金属铯所放出来的光电子的初速度。已知铯的临阈波长为600nm。•Cs：λλ＝400nmλCs＝600nm求v。cooohcchchhhmE11212ｖ15219983401003.6106001104001100.310626.62/2msmvvhｖ习题1.4求波长为0.1nm的电子和中子的动能和动量。kgme311011.9kgmn2710675.1mhhmpｖｖmkgJsmhe93134101.01011.910626.6ｖJmkgJsmEe17293123421041.2101.01011.92/10626.621ｖmJsmJshPe/1063.6101.0/10626.6/24934JEn201031.1mJsPn/1063.624（1）电子：（2）中子:习题1.6用速度ν＝1×109cm/s的电子进行衍射试验,若所用晶体粉末MgO的面间距离为242pm,晶体粉末离底板距离为2.5cm,求第2条和第3条衍射环纹的半径.sin2dnｖmhdndn.22/sin301.0)1011011.9102422/()10626.62(sin17311234mskgJs051.17099.342cmtgrn750.125.2)2(其中θ为入射线与晶面的夹角第2条衍射线,n=2时第3条衍射线n=3r2=3.39cm习题1.9证明若是算符属于本征值的本征函数,则是算符属于本征值的本征函数,是算符属于本征值的本征函数.AAABAAFABABABBAABBABABAF)1()1()()1(11,AˆBBF)1()(BBFBBBBBABBABBBAABBABA)1()()1()()(11,BF(1)即求证则是算符的本征函数;(2)求证则是算符的本征函数.习题.1ˆ,ˆ,ˆˆˆBABAFFˆAˆFˆ1B1FˆAAFˆ)1()ˆ(ˆFˆ考虑一围绕相距为r的固定点的自由粒子的运动，也就是被束缚在半径为r的球面上的自由粒子的运动。由于自由粒子在运动过程中r不变，故称为刚性转子。)(]sin1)(sinsin1)(1[2ˆ22222222rVrrrrrrmH体系的能量算符1.22写出平面刚性转子的Schrodinger方程，并求解。习题yzPxorzyxA又因为r=a，体系的波函数(r)=R(r)Y()=CY()薛定谔方程EYYma)(]sin1)(sinsin1[222222]sin1)(sinsin1[2ˆ22222maHYEmaY222222)(]sin1)(sinsin1[因为是自由粒子，V(r)=0。又因为r=a因此体系的能量算符变为习题若刚性转子被束缚在平面上运动，即r=a,=/2,sin=1=02,体系的算符]sin1)(sinsin1)(1[2ˆ22222222rrrrrrmH22222ˆddmaH变为：体系的波函数变为：(r)=cY()=C薛定谔方程:Eddma22222令：222Ema222maE),,(zyxMyzPxorzyxA习题022dd薛定谔方程:特征根方程:02rir特解:ie根据波函数的单值性:2即)2(iiee三角函数形式:2sin2cossincosii习题实部与虚部分别相等:2coscos2sinsin若上式成立，则:22n,2,1,0nnininece212222manE2n习题1.26正方体箱中的粒子处于状态和时，其几率密度最大处的坐标是什么？若不考虑边界，各有几个节面？表示这些节面的方程是什么？这些节面将整个正方体箱分成几个部分？你能不能不用计算而直接得出这些答案？zanzyanxanayxxsinsinsin83＝2112)2,2,43)(2,2,4(aaaaaa2ax3212)2,43,65)(2,4,65)(2,43,63()2,4,63)(2,43,6)(2,4,6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa26462ayaxax，，解：最大坐标应为有一个节面，节面方程为该节面将正方箱分成2个部分。最大坐标3个节面：将箱分成6部分。习题1.28写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的能级数和状态数。1111E3112211121EEE＝3122212211EEE＝3113131311EEE＝1222E6132123213231312321EEEEEE3223232322EEE3114141411EEE3133313331EEE2225mahE习题1.30求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.25a≤X≤0.75a的几率，a是一维箱的长。818.0)5.0(1)2sin2(1)2cos1(1sin2)sin2(75.025.075.025.075.025.02275.025.0aaaxaaxadxxaaxdxaadxxaaPaaaaaaaa习题1.33一维箱中的电子最低跃迁频率为，求箱子长。nmmskgJsamvhnahvmahnhvE17.11017.1100.210110.9810626.6)12(8892111431342222222习题1.36求处于状态的一维箱中的粒子的能量，若无确定值，求其平均值。axaaxaaxaaxaaxaaxaaxaxaxaaxaaxaxaxsin13sin1sin2sin13sin1sin22cossin2)]12(cos21[sin4cossin4)(2)(]889[21)sin23sin2(21)(122322xamahmahaxaaxaHxH22222222020851)8218921(mahmahmahcEcdxdxHEiiiaa其能量无确定值习题1.37函数是不是一维箱中粒子的一个可能状态？如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？2222222121020135)84984(131)94(13194)94(mahmahmahEEEEdxdxHEaaaEEHH22112132)32(所以无确定值解：是一种可能状态。2132习题1.39求处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方的平均值。dxdiPxˆnnxaanaxnaiaxnadxdiP)(cos2)sin2(ˆaaannxxdxaniandxanaxniaxnadxdxdiP0200*2si