高中数学定理证明汇总

1高中数学定理证明汇总必修1P64分数指数幂的定义、根式解释：一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的nm次幂，记作nmab，它就是正分数指数幂。有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即nmnmaa（a0）P81对数的运算性质：证明：设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为MN=apaq=ap+q，所以p+q=loga(MN)即loga(MN)=logaM+logaNP84换底公式：证明：设x=logbN,根据对数定义，有N=bx.两边取以a为底的对数，得logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以logaN=xlogab.由于b≠1,则logab≠0，解出x,得x=bNaaloglog,因为x=logbN,所以logbN=bNaaloglog很容易由换底公式得到logba=blog1a必修2P24平面的基本性质的推论：1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。证明推论2：设abA，在直线a上取点B，且A、B不重合，在直线b上取点C，且A、C不重合。因为A、B、C不重合则有且仅有一个平面经过A、B、C因为点A、B都在直线a上如果a0,1a,M0,N0,则（1）loga(MN)=logaM+logaN;（2）logaMn=n·logaM(nR)；（3）logaNM=logaM-logaN.logbN=bNaaloglog(a,b0,a,b≠1,N0)2所以直线a在平面内同理直线b也在平面内所以经过两条相交直线只有一个平面。推论3：证明：设直线a∥b,任取点Aa,Ba，取点Cb，则三点A、B、C确定一个平面ABC.再任取C以外一点Db假设过两条条直线a、b有两个或以上平面即平面ABC、平面ABD是两个不同的平面且相交于AB，且点C、D不在直线AB上得出ABCD是异面直线与a∥b冲突所以，假设错误P28定理5.1若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。P30定理5.2如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。P31定理5.3如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。P32定理5.4如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．P36定理6.1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．P37定理6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．P39定理6.3如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．证明：一般的，如果直线a⊥平面，直线b⊥平面,这时，a和b平行吗？如图，假设a和b不平行。设b与a交于点O，b'是经过点O与a平行的直线。因为a∥b',a⊥平面,所以，b'⊥平面。这样，经过同一点O的直线b,b'都垂直于平面，这是不可能的。因此，a∥b。P40定理6．4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。在一般情况下，平面α⊥平面β，=MNB，这时，直线AB和平面α垂直吗？如图，在平面α内作直线BCMN，则ABC是二面角α-MN-β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以ABC=90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN,从而AB⊥α。P47P73△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B,C不重合），且|AB|2=|AD|2+|BD|۔|DC|.求证：△ABC为等腰三角形。解：作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系。设A（0，a）,B（b，0）,C（c，0）,D（d，0）,因为|AB|2=|AD|2+|BD|۔|DC|，所以，由距离公式可得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d)又d-b≠0,故-b-d=c-dS球面=4πR2，V球=34πR33222baab即-b=c.所以|AB|=|AC|,即△ABC为等腰三角形。P75例19用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。证明：在△ABC中，AB=AC,P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。设A（0，b）,B(-a,0）,C(a,0）(a0,b0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P（x0,0）,使x0a,则点P到直线AB,AC的距离分别为220220|0|||baabbxbaabbxPD220220|0|||baabbxbaabbxPE，22222||||baabbaababCF，点C到直线AB的距离为=|CF|.则|PD|-|PE|=必修4P83平面向量基本定理如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一向量a，存在一对实数21,，使2211eea．我们把不共线的向量el，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，a这一平面内的任一向量，那么a与el，e2之间有什么关系呢?如图2—25，在平面内任取一点O．作AO=el，BO=e2，CO=a．过点C分别作平行于OB，OA的直线,交直线OA于点M，交直线OB于点N，则有且只有一对实数21,，使得11eMO，22eNO因为NOMOCO所以2211eeaP944P97P995P1006P1167P1228P127必修5P159P2710P4511P48P4912P83P8813