量子力学习题课(1-2)

HubeiNormalUniversity1量子化的起源HubeiNormalUniversityBohr在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为是对大量实验事实的概括。1.原子具有能量不连续的定态的概念。2.量子跃迁的概念.3,2,1nnLL其中的整数倍，即取只能电子的角动量hEEmnmn][第一章绪论（1）波尔假定HubeiNormalUniversity根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。假设氢原子中的电子绕核作圆周运动+Fcvre222rervFc)1(22revvrprL||角动量由量子化条件n222)(nvr)2(22222222enrnrer轨道半径第一Bohrern2201（2）氢原子线光谱的解释HubeiNormalUniversity电子的能量：revVTE2221hEEmn][与氢原子线光谱的经验公式比较)1(22revrerere221222)2(222enrnEne2242,3,2,1n根据Bohr量子跃迁的概念]22[21224224mene]11[42234nme]11[22expnmcRH得Rydberg里德伯常数ceRH344与实验完全一致HubeiNormalUniversity（3）量子化条件的推广nhndnLd2是相应的广义坐标。是广义动量，其中iiiiiqphndqp由理论力学知，若将角动量L选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分并利用Bohr提出的量子化条件，有索末菲将Bohr量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Li，Na，K等）的一些原子光谱也能很好的解释。HubeiNormalUniversity（4）波尔量子论的局限性1.不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；2.不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；3.Bohr只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；4.从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识HubeiNormalUniversity驻波条件：Bohr轨道,3,2,12nnrhp为了克服Bohr理论带有人为性质的缺陷，deBroglie把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍于是角动量：,3,2,1nnrpLdeBroglie关系rnrnhnrh22r代入表明：单个电子就具有波动性HubeiNormalUniversity1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.解：010A7.09m1009.72mEhph1.3.氦原子的动能为kTE23，求KT1时氦原子的deBroglie波长。解：3427230106.631023341.66101.381012.6310m12.63AhhhpmEmkT其中kg1066.1003.427m，123KJ1038.1kHubeiNormalUniversity1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场T10B，玻尔磁子123TJ10923.0B，求动能的量子化间隔E，并与K4T及K100T的热运动能量相比较。解：(1)一维谐振子的运动方程为02qq，其解为tAqsin速度为tAqcos，动量为tAqpcos，则相积分为222022220cos(1cos)22TTpdqAtdtAATtdtnh，nhTnhAE222，,2,1,0nHubeiNormalUniversity（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由RvevB2，得eBvR再由量子化条件,3,2,1,nnhpdq，以22,pRvReBR分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为nheBRRvdpdp22022，,2,1n，由此得半径为eBnR，,2,1n。电子的动能为BneBnBeeBRvEB2222212121动能间隔为JBEB23109HubeiNormalUniversity热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kTE，所以当K4T时，JE231052.4；当K100T时，JE211038.1。比较：(1)电子的量子化动能间隔很少，不易觉察，可忽略，经典理论近似适用；(2）其热运动能量在很低的温度下与动能量子化能量间隔相同一个数量级。HubeiNormalUniversity1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？解：转化条件为2che，其中e为电子的静止质量，而c，所以che，即有083134maxA024.0103101.910626.6cech（电子的康普顿波长）。HubeiNormalUniversity13量子化之薛定谔波动方程（对应于海森堡矩阵力学）HubeiNormalUniversity第二章波函数与薛定谔方程（ThewavefunctionandSchrödingerEquation）为什么要归一化？怎样归一化？什么东西要被归一？举一维无限深势阱和线性谐振子为例？课后习题和delta函数归一化。HubeiNormalUniversity归一化:2.4证明（2.6-14）式中的归一化常数是1Aa证明：由归一化条件得21dx又由于阱外0，故2222221cos()sin()221aaaaaadxdxnxanaAxadxAdxaAa1AaHubeiNormalUniversity必须注意:若非绝对可积时，需用所谓2)t,r()t,r(2(,)1rtd只有当在空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。δ函数归一化方法进行归一化。函数：00000,0,0()()1,1,0()1()1xxxxxxxxxxdxxxdx狄拉克δ函数归一化:(DiracDeltafunction）HubeiNormalUniversity又根据傅立叶变换公式:()()1()()2iwxiwxGwfxedxfxGwedw傅立叶变换公式傅立叶逆变换公式的傅立叶变换为:函数()()iwxiwywxyedxe因而傅立叶逆变换给出:()11()22iwyiwxiwxyxyeedwedwHubeiNormalUniversity()()xxpxpdixpxdx求解方程得出动量算符的本征函数为:()(,)xxipxEtpxtAe由于为常数.此波函数不能按归一化条件归一化.一维动量算符的本征值方程为：xxpp例如:电子在晶体表面的衍射，动量算符的波函数设电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波.HubeiNormalUniversitydxeAxPPixx)(2)(122xxPPA)()(22xxxxPPPPAdxtxtxdxtxxxxPPP),(),(),(*2Solve：1/2AHubeiNormalUniversity归一化的平面波：)EtxP(i/Pxxe/2121)(),(2xxPPPdxtxx同理，三维平面波：)EtrP(iPAe)t,r()(),(2PPdtrP2321/)/(A()3/2(,)1/(2)iPrEtPrte归一化的平面波归一化条件归一化条件注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到动量为p的粒子的总几率为1。比如每个学生是动量p，那么在地球上所有的点找到他的总几率为1.HubeiNormalUniversity几率密度:2．5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置由于1()2nEn0,1,2,3...n第一激发态时，131,2nE故对应1E的波函数为212211222e几率密度：22222221112322(2)2242xweeexHubeiNormalUniversity要求w最大的位置，必使0dwdx，求极值：22223322(22)0xxdwxexedx32220xx得到10,xx或者当0x时，代入w得0w，故舍去当12x时，代入w得223222wee故一维谐振子处在第一激发态时，几率最大处为1x。注:归一化后的波函数仍具有不确定性，还可以相差其模为1的相因子,()ie为实函数HubeiNormalUniversity宇称:即是一种交换后的对称性，有奇对称和偶对称之分。2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：()()UxUx证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。解：在方程中：222()()()()2dxUxxExmdx（1）当xx时，()()UxUx222()()()()2dxUxxExmdx（2）（1）（2）式对比，HubeiNormalUniversity令()()pxx，其中p为宇称算符，当把x换成x时：2()()(())()xpxppxpx得21,1pp当1p时，()()xx偶宇称当1p时，()()xx奇宇称即波函数要么具有偶宇称，要么具有奇宇称。HubeiNormalUniversity势阱、势垒:二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy它的特征方程为特征根就是20pq21,242ppq12122122122()()122121.40,2.40,3.40,4,,,22xxxxixixpqycecepqycecxepqyceceqppiiHubeiNormalUniversity2220dkdx12,ikxikxee又由于12常数，线性无关，则方程的解为这两个通解的线性叠加121122ikxikxcececc（一种线性组合）121201222AAi（另一种线性组合）由欧拉公式：()(cossin)11cos(),sin()22ixxixixixixeexixxeexeei则有012cossinAkxAkxHubeiNormalUn