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自动控制原理2012年9月唐求电气与信息工程学院2第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型2-1控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的结构图和信号流图3数学模型的实验测定法42-32-43被控对象:数学上怎么来描述?被控对象,,,xtstxtvtxtat位置速度加速度微分描述变化:2-1控制系统的时域数学模型4被控对象的基本描述:微分方程被控对象,,,,,,0fyyyrrr输出y(t)输入r(t)2-1控制系统的时域数学模型5求解微分方程,是整个控制理论的数学基础(1)(2)(3)vtxatx03txtx匀速运动匀加速运动一般运动2-1控制系统的时域数学模型6一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性定常系统与叠加原理四、线性微分方程式的求解2-1控制系统的时域数学模型7(1)确定系统的输入变量和输出变量。一、建立系统微分方程的一般步骤一个系统通常是由一些环节连接而成的,将系统中的每个环节的微分方程求出来,便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤:根据各环节所遵循的基本物理规律,分别列写出相应的微分方程,并构成微分方程组。(2)建立初始微分方程组。将与输入量有关的项写在方程式等号右边,与输出量有关的项写在等号的左边。(3)消除中间变量,将式子标准化。2-1控制系统的时域数学模型8ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1.RC电路+-uruc+-CiR输入量:输出量:(1)确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组(3)消除中间变量,使式子标准化RC电路是一阶常系数线性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur2-1控制系统的时域数学模型92.机械位移系统系统组成:质量m输入量弹簧系数k阻尼系数fF(t)输出量y(t)初始微分方程组:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根据牛顿第二定律mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系统的时域数学模型10中间变量关系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间变量得:mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系统的时域数学模型11试写出以ur(t)为输入量、uc(t)为输出量的电路微分方程。i(t)LRur(t)uc(t)C解:设回路电流为i(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为dttiCutRiudttdiLututututucRLCRLr)(1)()()()()()(消除中间变量,可得:)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC2-1控制系统的时域数学模型3.RLC电路12系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。1.系统微分方程的一般表达式(标准形式)为:+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1+dnc(t)dn-1c(t)dc(t)anc(t)+···dtna0dtn-1a1+dtan-1+三、线性定常系统与叠加原理式中,c(t)——系统输出量r(t)——系统输入量ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为微分方程的系数2-1控制系统的时域数学模型132.根据系统微分方程对系统进行分类:1)线性系统:方程中只含有变量c(t),r(t)及其各阶导数2)非线性系统:参数与变量有关,或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项a)线性定常系统:a0,…,an;b0,…,bm为常数b)线性时变系统:a0,…,an;b0,…,bm为时间的函数2-1控制系统的时域数学模型143.线性系统满足叠加原理:线性系统r1(t)c1(t)线性系统r2(t)c2(t)线性系统ar1(t)+br2(t)ac1(t)+bc2(t)叠加原理的意义:对于线性系统,各个输入产生的输出是互不影响的。因此,在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时,可以先分析由单个输入产生的输出,然后,把这些输出叠加起来,则可能求得总的输出。2-1控制系统的时域数学模型15四、线性微分方程式的求解求解方法:1)解析法2)拉普拉斯变换法3)计算机求解。拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤:1、考虑初始条件,对微分方程中的各项进行拉氏变换,变成变量S的代数方程;2、由变量S的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式;3、对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换,得到系统微分方程的解。2-1控制系统的时域数学模型16r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0+2c(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。例已知系统的微分方程式,求系统的输出响应。解:将方程两边求拉氏变换得:求拉氏反变换得:s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11c(t)=e–tsint2-1控制系统的时域数学模型17输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-1控制系统的时域数学模型18一、拉普拉斯变换及其主要性质二、传递函数的定义及求取拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。三、典型环节的传递函数2-2控制系统的复数域数学模型19一、拉普拉斯变换及其主要性质:1.拉普拉斯变换的定义:dtetfst)(0设函数f(t)当t0时有定义,且积分在s的某个域内收敛,则它的拉氏变换定义为:)]([)()()(0tfLsFjsdtetfsFst记为:为一复参量式中,2.拉普拉斯变换的主要性质:1)线性性质:若、是常数,,,)()]([)()]([2211sFtfLsFtfL)()()]()([2121sFsFtftfL则有,2-2控制系统的复数域数学模型202)微分性质:)0()0()0()(][)0()(][)()]([)1(21nnnn(n)ffsfssFs(t)fLfssF(t)fLsFtfL则有:若)(][)(][)(][0)0()0()0()0()(2)1(sFs(t)fLsFs(t)fLssF(t)fLffffnnn有时,当初始条件2-2控制系统的复数域数学模型212-2控制系统的复数域数学模型3)积分性质:)(1])([)()]([0sFsdttfLsFtfLt则有:若4)位移性质:)(][)()]([asFf(t)eLsFtfLat则有:若225)延迟性质:)(])([0)()]([sFedttfLsFtfLs时有:则当若6)初值定理:)0()(lim)(lim)(lim)()]([0fssFtfssFsFtfLsts则有:存在,,且若7)终值定理:)()(lim)(lim)()()]([0fssFtfsssFsFtfLst则有:平面的左半部,的所有奇点都在,且若2-2控制系统的复数域数学模型233.拉氏逆变换:)]([)()()()()(1sFLtfsFtftfsF记为的拉氏逆变换,是的拉氏变换,则称是若4.卷积定理:)()()]()([)()()]()([)()]([)()]([)()()()()()(2121121212211212121tftfsFsFLsFsFtftfLsFtfLsFtfLdftfdtfftftf则有:并且若2-2控制系统的复数域数学模型245.典型函数的拉氏变换:aseLssωtLsωtLtLstLstLsLat1][7][cos6][sin51)]([41]21[31][21]1[12222322)指数函数)余弦函数)正弦函数)单位脉冲函数)单位加速度函数)单位斜坡函数)单位阶跃函数2-2控制系统的复数域数学模型256.部分分式展开定理:一般,函数F(s)是复变数s的有理代数分式,即可以表示成如下形式:)()()(sqspsF)()()()(,,,)(1221121nnnssksskssksFsssnsF,则个单极点:只有)如果issiisFssk)]()[(其中2-2控制系统的复数域数学模型26,则个重极点,其中有个极点:有)如果mnsssmsssnsF2121,,,)(2)()()()()()(1111,1111,11,1nnmmmmmmssksskssksskssksFnmssnnssmmssmmmssmiiimssmmssmmsFssksFssksFssdsdmksFssdsdiksFssdsdksFssk)]()[()]()[()]()[()!1(1)]()[(!1)]()[()]()[(11111111111,11,111,11,1其中2-2控制系统的复数域数学模型27输出拉氏变换二、传递函数的定义及求取系统的结构图输入输入拉氏变换输出传递函数的定义:零初始条件下,系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=2-2控制系统的复数域数学模型28零初始条件:系统的输入量、输出量及其各阶导数在t=0时的值均为零。0)0()0()0()0(0)0()0()0()0()()(nnccccrrrr即求取系统传递函数的步骤:1)列写系统微分方程(非线性方程需线性化);2)设全部初始条件为零,对微分方程两边取拉氏变换;3)求输出量与输入量的拉氏变换之比——系统传递函数。2-2控制系统的复数域数学模型29r(t)b(t)rb(t)rb(t)rbc(t)a(t)ca(t)ca(t)camm)(m(m)nn)(n(n)11101110式中,c(t)——系统输出量r(t)——系统输入量ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为常系数设线性定常系统的微分方程为:2-2控制系统的复数域数学模型30对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式为(a0sn+a1sn-1+···+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an(n≥m)2-2控制系统的复数域数学模型31例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解:输出量:输入量:uruci=CducdtLdidtur=R·i++uc根据基尔霍夫定律:得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏变换:RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)传递函数为:G(s)=1LCs2+RCs+1Uc(s)Ur(s)=2-2控制系统的复数域数学模型32dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系统的传递函数.将上式两边求拉氏变换:设解:得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa=bh02传递函数为H(s)Abs+1b=Qi(s)2-2控制系统的复数域数学模型33传递函数性质:(1)传递函数只适用于线性定常系统。(2)传递函数取决于系统的结构和参数,与外施信号的大小和形式无关。(3)传递函数一般为复变量S的有理分式。(4)传递函数是在零初始条件下定义的,不能反映非零初始条件下系统的运动过程。将
本文标题:湖大自控第二章
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