例题9-1两个半径分别为R和r的球形导体(Rr),用一根(精)

例题9-1两个半径分别为R和r的球形导体（Rr），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。解两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为QrqRQV004141rRqQ得可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。因为两球的电荷密度分别为24,24rqRQrRRrqrQrrR22所以可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。例题9.2在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求：（1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；（2）小球与球壳的电势差；（3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差；解（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。小球和球壳内外表面的电势分别为21041RQqRqrqVr2021104411RQqRQqRqRqVR2022204412RQqRQqRqRqVR10114RrqVVRr球壳内外表面的电势相等。（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为（2）两球的电势差为10114RrqVr021RRVV10114RrqVVRr两球的电势差仍为由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳,与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。例题9-3三个电容器按图连接，其电容分别为C1、C2和C3。求当电键K打开时，C1将充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。解已知在K闭合前，C1极板上所带电荷量为q0=C1U0，C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后，C1放电并对C2、C3充电，整个电路可看作为C2、C3串联再与C1并联。设稳定时，C1极板上的电荷量为q1，C2和C3极板上的电荷量为q2，因而有KU0+q0q0C1C2C3021qqq＝＋322211CqCqCq0313221321102UCCCCCCCCCqqq0313221322031322132101UCCCCCCCCCqCCCCCCCCCq＋＋解两式得因此，得C1、C2和C3上的电势差分别为0313221321111UCCCCCCCCCCqU＋031322131222UCCCCCCCCCqU031322121323UCCCCCCCCCqU9.4半径R的介质球被均匀极化，极化强度为P。求：1)介质球表面的分布；2)极化电荷在球心处的场。PnSdxPdxcosPnP由此可知，右半球面上0左半球面上0最大。处，及；处，0022)在球面上取环带ddRPdRqdcossin2sin222解：1)球面上任一点dPRqdEd2020cossin2cos400203cossin2PdPEdEE沿x轴负方向，和反向。在球心处的场例题9.5一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点p的场强及极化电荷分布。解:根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对称分布，可知此时的电场分布必仍具球对称性，所以用有电介质时的高斯定理来计算球外P点的场强是很方便的。如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知RQ0rPS204rqDrrqD304所以写成矢量式为024qrDSdDED所以，离球心r处P点的场强为因rrErrqrrqDE3003044rrqrrqrrqPrrr144430300030结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍,可求出电极化强度为电极化强度与有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为σ’PrneP于是得rrRq1420rrrqqq0001因为εr1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。解（1）设这两层电介质中的场强分别为E1和E2，电位移分别为D1和D2，E1和E2都与板极面垂直，而且都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，如图中中间的虚线所示，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题9-6平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，电容器两板极上自由电荷面密度为±σ。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）电容器的电容+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22所以21DD＝1D2D即在两电介质内，电位移和的量值相等。由于0211＝＋SDSDSDS222111,EDED＝＝所以121221rrEE可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得SSDSDS＝11再利用222111,EDED＝＝可求得0111rE0222rE、和、的方向都是由左指向右。1E2E1D2D221122112211ddSqdddEdEVVBA＝－2211ddSVVqCBA－式中q=σS是每一极板上的电荷，所以这个电容器的电容为可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板A、B间的电势差为例题9-7一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片（εr=6.5）作为绝缘，其击穿场强为107V/m，已知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强E1与陶瓷面法线成θ1=300角，大小为E1=2.0×104V/m。求（1）陶瓷中的电位移D2和场强E2的大小和方向，（2）陶瓷表面上极化电荷的面密度。解（1）如图中所示，设陶瓷内电位移的方向与法线成θ2角n12D1=1E1D2=2E2陶瓷2空气102011221.75753.35774.05.630tan15.6tantanrr由边界条件2211coscosDD可知27241200112112/1095.5/258.0866.0100.21085.811.75cos30coscoscosmCmCEDDmVmVDE/1003.1/1085.85.61095.541272222E小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿（2）极化电荷的面密度为27241202202202/1027.1/258.01003.115.61085.81.75cos1cos2mCmCEEre－－例题9-8如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。+2eeeeeeeee解一相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有12对，即；面对角线长度为。6个面上12对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；立方体对角线长度为，4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是；立方体中心到每一个顶点的距离是，故中心正电荷与8个负电荷间的相互作用能量是de02412d2de241202d3de344022/3d2/34802de所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为dedededeW33234212124122220解二任一顶点处的电势为dedededeVi2342)34()24(3)4(30000在体心处的电势为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为deV234800结果与解一相同dedededeVeVeWi022220034.032821212412212189.9求半径为R带电量为Q的均匀带电球的静电能)(430RrRQrE，)(4130RrrQrE，RQdrrrQdrrRQrdVEWRR02222002203002020344244221解一：计算定域在电场中的能量球内r处电场解二：计算带电体系的静电能334rq再聚集drrr这层电荷dq，需做功：)4(420drrrqdqUdW外外334RQ而RQdWWR5341200外外所以球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为±Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。dSCdSC2,0201SdQWSdQCQW0220210212212121，板极上带电±Q时所储的电能为故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为解（1）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为SdQ－＝（2）设两极板之间的相互吸引力为F，拉开两极板时所加外力应等于F，外力所作的功A=Fd，所以SQdAF022例9-11平行板空气电容器每极板的面积S=3×10-2m2，板极间的距离d=3×10-3m。今以厚度为d’=1×10-3m的铜板平行地插入电容器内。（1）计算此时电容器的电容；（2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？dSC0解（1）铜板未插入前的电容为d1d2dd+C1C2AB设平行板电容器两板极上带有电荷±q,面密度为±σ=q/S，即σ。在铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为±σ，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板A、B的电势差为ddSVVqCBA0－所以铜板插入后的电容C’为SddqVddEdEdEVVUBBA002010＝＋－2）由上式可见，C’的值与d1和d2无关（d1增大时，d2