信道编码理论

1第十章卷积码基础卷积码的基本概念卷积码的矩阵和多项式描述初始截段码卷积码的树图表示及其距离度量卷积码的状态图表示2有记忆的编码方法从一般的角度讲，当前的编码符号完全可以不仅受当前的信息符号控制，而且还可受控于其它时刻的输入信息符号；从因果的角度出发，可以只考虑受控于当前及历史上的输入符号流。换句话说，就是编码器可以是有记忆的；因此输出的编码符号流也就具有了一定的相关性；编码器的记忆可以是有限的，也可以是无限的。对于线性系统而言，有限记忆和无限记忆就分别对应于FIR和IIR滤波器。当从滤波器角度看时，输入输出要用同一域中的元素。这样输入符号流应为GF(p)上的k维矢量。输出符号流为GF(p)上的n维矢量。3有限响应与无限记忆有限响应系统如右上图所示:Yk=iAiXk-i由于其生成方法与线性信号系统中的卷积相类似，因而称为卷积码。无限记忆系统如右下图所示:Tk=iBiTk-i+XkYk=iAiTk-IDDDDXXYYA0A1A2A0A1A2B2B14描述卷积码的参数一般将卷积码标记为(n0,k0,m)码，其中n0：每时刻编码器输出的码元个数；其集合称为卷积码的一个码段或子组;k0：每时刻编码器输入的信息位个数;m：编码存贮；m+1称为编码约束度，它表示编码过程中互相约束的子码个数；n0(m+1)称为编码约束长度，表示编码过程中互相约束的码元个数;码率：R=k0/n0。图1为一个(3,1,2)卷积码编码器：mp2p1图1.(3,1,2)卷积码编码器5卷积码的生成矩阵图1的生成矩阵:设图1编码器的初始状态为全0，若输入的信息序列M=(100…)则输出码序列为C=(111,010,001,000,…)。码序列中第m+1段以后，后面各段取值均为0。若M=(111…)=(100…)+(010…)+(0010…)+…，则有C=(111,010,001,000,…)+(000,111,010,001,000,…)+(000,000,111,010,001,000,…)+…C=MG∞基本生成矩阵:111010001000000000111010001000000000111010001G111010001000000g6卷积码的生成矩阵子生成元:其中，gi,j表示第i个信息位对当前及后续m个子码的第j个码元的影响。生成多项式矩阵：维矩阵G(D)表示：卷积码码字中，每一段子码的n0个码元与k0个信息位之间的关系。卷积码的设计：2111DDDG1001,1g1102,1g1013,1g00kn编码电路子生成元DGg7Example1已知(2,1,3)码的子生成元为1,11101g11112,1g1求出该码的G(D)和G矩阵；2画出该码的编码器；3求出相应于信息序列M=(101)的码序列；4判断此码是否是系统码。Problemformulation：8Example1Step1：Step2:323()11DDDDDDG111101110000001111011100GDDD＋＋c1c2m9Example1Step3:Step4:非系统码。11110111000000101001111011100000000111101110011111000011100CMG10Example2Mi(1)Mi(2)ci(2)ci(1)ci(3)(3,2,2)卷积编码器Problemformulation：一个(3,2,2)系统卷积码的编码器如下图所示，请给出该码的的子生成元、基本生成矩阵、生成矩阵多项式和生成矩阵。11Example2Step1：Step2：Step3：000000000000000001001000011101g1001,1g1,2000g1013,1g0001,2g1002,2g1103,2gDDD1110012G12000001001000011101000000000001001000011101000000000000000001001000011101GStep4：Example213系统卷积码mkmkmk0p0p0ppI0p0p0ppI0p0p0ppIG210210210000系统卷积码的生成矩阵：0()()kDDGIPg∞14卷积码的一致校验矩阵000101012010hhhhhhhhhhhHmmm000nkn卷积码的校验矩阵：矩阵0HGT0HGDDT15系统卷积码的一致校验矩阵0000000101011TnkTTnkTTTmmnkTmTmpIp0pIHp0p0pIp0p0当卷积码为系统码时，注意到，此时的校验矩阵为：另一方面，，此时的校验多项式矩阵为0HGT0HGDDT00()()TnkDDHPI16Example2(continued)000001001000011101000000000001001000011101000000000000000001001000011101G17111010100000000000111010100000000000111010100000000000111010000000000000111H000111010100hExample2(continued)181112DD(D)HDD(D)G1101012Example2(continued)19初始截段码定义：编码器初始状态全为0时，编码器输出码序列的前m+1段子码所组成的码字，称为卷积码的初始截段码字，以表示，其中而以表示在同一时间段内输入至编码器的信息序列。其中所有初始截段码字的集合构成一个((m+1)n0,(m+1)k0)线性码。mmDDDccccC221000mmDDDmmmmM221000012,,,iiiincccc012,,,iiiikmmmm20基本校验矩阵初始截段码生成矩阵和校验矩阵：0110210000pI0p0ppI0p0p0ppIGkmkmk00000001010knTTmTmknTTknTIp0p0pIp0pIpH基本生成矩阵21卷积码的树图表示右图为(2,1,2)卷积编码示意图，其生成多项式矩阵和生成矩阵分别为：若输入的信息序列M=(11011…)则编码器的输出为22()1,1DDDDG111011111011111011G11,01,01,00,01,01,CMG22卷积码的树图表示其树图表示为：正确路径a/b:a表示由n0个码元构成的子码，b表示k0个信息元初始截段码∞11/100/000/011/111/110/001/100/010/011/000/101/0101/010/123卷积码的树图表示编码过程的实质：在输入序列的控制下，编码器沿码树通过某一特定路径的过程；译码过程的实质：根据接收序列以及信道干扰的统计特性，译码器在原码树上寻找正确路径的过程。码树中子集的划分：m0m1m1010011s0c0=00s1c0=11s00c1=00s01c1=11s10c0=10s11c0=0124卷积码的距离度量最小汉明距离：不同初始截段码字子集之间的最小汉明距离，用于衡量代数译码的性能；第0子组为非零的初始截短码字的最小重量；如:(2,1,2)码的最小距离为dmin=3。自由距离：在所有半无限长码序列之间的最小汉明距离定义为卷积码的自由距离，用于衡量概率译码的性能；如:(2,1,2)码的最小距离为df=5。Remark：不同于分组码，在某些码中，非系统码的df比系统码大。25卷积码的状态图表示(2,1,2)码的状态图如右图所示：卷积码的自由距离等于编码器从s0出发，又回到该状态时，所有可能非全零路径重量的最小值：重量最小的路径：s0s1s2s0；相应的输出码字序列为：111011因此，df=5。s110s000s3110010010111100011s201