§3--二倍角的三角函数(一)资料

§3二倍角的三角函数（一）1.知识目标：（1）能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；（2）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；（3）能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和证明.2.能力目标：能利用各类公式及化归的思想、等价转换的思想、方程和分类讨论的思想方法，解决一些综合问题.3.情感目标：体会公式所蕴含的和谐美、对称美.4.教学重点：二倍角公式与和差角公式的内在联系，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形；5.教学难点：灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和证明.sin(a+b)=sinacosbcosasinbsin(a-b)=sinacosbcosasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbcos(a-b)=cosacosbsinasinb-+-+以上公式中a和b可以取任意角.两角和与差的正弦和余弦公式复习以上两个公式中，和可取使两边都有意义的任意角tantantan()1tantantantantan()1tantan    .aabababababbab++---+两角和的正切公式是特殊角，和是倍半关系，利用上述公式不可以求的三角函数值如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的思考448 ..1CAB3ABC5()等腰三角形的底角的余弦值是，那么顶角的正弦值是多少思考？图2如，解:34cossin.55sinsin[()]sin()sin2sin()sincoscossin43242sincos2.5525AACABABAAAAAAAAA-++++　两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当＝时，这三个公式分别变为什式考形思么？3ba二倍角公式的推导sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosacos2a=cos(a+a)=cosacosa–sinasina=cos2a–sin2atan2a=tan(a+a)aaaatantantantan-+1aa2tan1tan2-利用sin2a+cos2a=1，cos2a还可变为cos2a=cos2a–(1-cos2a)=2cos2a-1cos2a=(1-sin2a)-sin2a=1-2sin2a.　　　　　　　　　　22222222sin22sincoscos2cossincos22cos1cos212sin2tantan21tanαααSCTaaaaaaaaaaaaa----二倍角公式　已知，求的值例1tantan2.21aa直接代入二倍角的正分析：切公式.解　　22tantan21tanααα-2122112-4.31.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题；2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应角的公式.公式的作用：（）左边角是右边角的二倍；（）左边是的三角函数的一次式，右边是二次式.由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角；（）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.1223aa公式的特征与记忆关于公式的几个说明：1.公式S2a和C2b对任意角均成立，对于公式T2a242,().kkkZaa++22.2422222243322倍角公式不仅可运用于将作为的倍的情况，还可以运用于等式中的“二倍角诸如将作为的倍.将作为的倍.将作为的倍.将作为的倍等情况”的意义是相对的，如：.aaaaaaaaaa3.注意公式的各种变化，如：4.注意公式的逆用：　　，　　2222222cos1cos22sin1cos21cos21cos2cossin22tan21tan2tan2tan1tantan2aaaaaaaaaaaaaa+-+---　　　　　22221sincossin2cossincos222tantan22tantan21tan1tanaaaaaaaaaaaa---例2求下列各式的值：解：2222(1)sin15cos15;(2)cossin;882tan22.5(3);(4)12sin75.1tan22.5---1(1)(2sin15cos15)2原式1sin30214原式(2)cos422原式(3)tan451(4)cos150原式cos(18030)-cos30-32-点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.　设是第二象限角，已知，求，和例的值cos-0.6sin2cos2tn3a2.aaaaa　因为是第二象限角，所以，由于，故解，:2sin0tan0.cos0.6sin1cos0.8aaaaaa--可得；；22sin22sincos20.80.60.96cos22cos120.610.28sin224tan2.cos27aaaaaaaa------已知),2(,1312cosaa-解：sin22sincosaaa求sin2α,cos2α,tan2α的值.所以5122()1313-aa2sin212cos-2)1312(1--12cos,(,)132aa-aa2cos1sin-.135于是169120-2)135(21-169119aaa2cos2sin2tan119169169120-.119120-因为练习：技巧方法：1.利用平方关系求三角函数值时，一定注意角的取值范围.2.求正切值时，常常采用商数关系，可以避免讨论符号问题.引申：公式变形：221)cos(sinsinaaaaa2cos22cos1+aa2sin22cos1-22cos1cos2aa+22cos1sin2aa-升幂降角公式降幂升角公式利用三角公例式化简sin50(13tan140).+sin10sin50(13)cos10cos103sin10sin50()cos10++原解：式132(cos10sin10)22sin50cos102sin50cos40cos10+22cos401cos80cos10cos10+1sin101tan10.cos10cos10++1.“切化弦”；2.“异角化同角”；3.注意逆用公式及公式的变形应用；4.拼凑公式的形式，必要时利用诱导公式.技巧方法：　作于，设，那么因为　，所以　　因为，所以，于是，故A解:2.11241sin.4020215cos415sinsin2.8ADBCDBADABDBCABBDAB　在中，已知如图，求角的正弦值例.52ABCABACBCADCBA　要把半径为的半圆形木料截成长方形如图，应怎样截取，才能使长方形面例积最大？6RRaOBA　如图，设圆心为长方形面积为，，则，，　　　　当取最大值，即时，截面面积最大不难推出，时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于解:222,sincossin2cos2sincossin2.sin2sin21.4.OSAOBABROBRSRRRRRaaaaaaaaaaa技巧方法：三角函数应用题的基本步骤可分为四步：1.审题：是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型,注意挖掘一些隐含条件.2.建立数学模型：引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型.3.解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决.4.回归实际问题：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判.例7证明：2sin2sintan2cos22sincos+++证明：左边2222sinsin2(sin)2sinsin(21)tan(21)coscoscoscoscoscos+-++++=右边.二倍角公式的变通思考41＋sin2α可化为什么？21cos2sin2aa-=21cos2cos2aa+=＋＝＋21sin2(sincos)aaa根据二倍角的余弦公式，，与的关系考分别？思如何sincoscos25aaa21cos2tan1cos2sin21cos2tan1cos2sin2aaaaaaaa-=+-==+与，之间是否存在某种关系思考？tansin2c6os2aaa1.判断：错错错2233(1)sin3sincos22(2)cos22sin132tan3(3)tan21tan3aaaaaaaa--求值：2cos10sin202..cos20-31.方法上：学会怎样去发现数学规律，并体会从一般化归为特殊这一基本数学思想在发现中所起的作用.2、知识上：记住二倍角公式.3.公式变形:22222sin22sincoscos2cossin2cos112sin2tantan21tanaaaaaaaaaaa----221cos22cos1cos22sinaaaa+-对一个人来说，所期望的不是别的，而仅仅是他能全力以赴和献身于一种美好事业。——爱因斯坦