椭圆及其标准方程第二课时

2．2椭圆椭圆的标准方程2学习目标1.理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程．2.会求与椭圆有关的轨迹问题．1．椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和____常数(大于____)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，________的距离叫做椭圆的焦距，如图所示．复习回顾等于F1F2两焦点间2．椭圆的标准方程(1)当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为_________________；(2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为_________________．x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)3．椭圆标准方程中a，b，c之间的关系为__________，其中__最大．4．判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上的方法：在椭圆的标准方程中，看____，____________所对应的轴就是焦点所在轴．a2＝b2＋c2a分母分母大的分子4.定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－32，52.例1【思路点拨】已知条件中告诉了椭圆的焦点坐标，因此只需求出a、b即可．【解】(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵c＝4,2a＝10，∴b2＝a2－c2＝9.∴所求的椭圆方程为x225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设所求椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由椭圆定义知2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a＝10.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的方程为y210＋x26＝1.【名师点评】求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法来求．利用椭圆的定义求方程，常常已知椭圆的两焦点及椭圆上一点．求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程．例2【思路点拨】由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，因此应对焦点的位置进行讨论．在焦点位置不确定的时候，我们还可以借助于椭圆方程的一般式求解．【解】法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15.因为ab，所以方程无解．故所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0)．依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15，所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.【名师点评】椭圆标准方程分两种类型，这是在解题中必须要牢记的一个知识点，在无法确定类型时，需分情况讨论或设一般式方程进行求解，避免缺解．[一点通]用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为自我挑战1求经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程．解：椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆的方程为x2λ＋y2λ＋5＝1(λ0)．把x＝2，y＝－3代入，得4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．∴所求椭圆的方程为x210＋y215＝1.椭圆中的焦点三角形问题，常常用椭圆的定义，结合三角形中的正弦定理、余弦定理及比例的性质来解决．在此过程中要注意整体代入方法的应用．椭圆定义的应用【思路点拨】在△F1PF2中，结合椭圆的定义利用余弦定理等解之．(本题满分14分)已知P为椭圆x225＋4y275＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．例3【规范解答】在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝25，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝2534.【名师点评】由椭圆上一点P与两个焦点F1，F2构成三角形，称作焦点三角形，在焦点三角形中，常将以下三式联系起来．①S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2；②|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2；③|PF1|＋|PF2|＝2a.既能考查三角形的面积，又能联系点对两焦点的张角，与椭圆定义结合，体现了灵活应用的一面．自我挑战2已知P是椭圆x225＋y216＝1上任意一点，F1，F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．解：由x225＋y216＝1得a＝5，b＝4，∴c＝3.∴|F1F2|＝2c＝6，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.∵∠F1PF2＝30°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°，即62＝|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－3·|PF1|·|PF2|，∴(2＋3)|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－36＝100－36＝64，即|PF1|·|PF2|＝642＋3＝64×(2－3)，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin30°＝12×64(2－3)×12＝16(2－3)．1．椭圆的定义及标准方程(1)a，b，c三个量之间的关系：b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，它们构成了一个直角三角形的三边，其中a为斜边，b，c为直角边(如图所示)，因而有ab0，ac0.方法感悟(2)由x2，y2的分母的大小确定焦点在哪个坐标轴上．若x2的分母大，则焦点在x轴上；若y2的分母大，则焦点在y轴上．(3)在方程Ax2＋By2＝C中，只有A，B，C同号时，才可能表示椭圆的方程．(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式．2．待定系数法求椭圆的标准方程用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(2)设方程：依据上述判断设方程为x2a2＋y2b2＝1或x2b2＋y2a2＝1或x2m＋y2n＝1或mx2＋ny2＝1(ab0，m，n0)；(3)寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，代入所设方程即为所求．