数值计算方法期末考试题

实用文案标准文档一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3B．3和2C．3和4D．4和42.已知求积公式，则＝（）A．B．C．D．3.通过点的拉格朗日插值基函数满足（）A．＝0，B．＝0，C．＝1，D．＝1，4.设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A．超线性B．平方C．线性D．三次5.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A．B．C．D．211211()(2)636fxdxfAffA161312230011,,,xyxy01,lxlx00lx110lx00lx111lx00lx111lx00lx111lx0fx1231231220223332xxxxxxxx232xx2321.53.5xx2323xx实用文案标准文档单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1.设,则，.2.一阶均差3.已知时，科茨系数，那么4.因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。5.取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案1.9和2.3.230.51.5xxTX)4,3,2(1||||X2||||X01,fxx3n33301213,88CCC33C420xfxx1,20fx0.1h211yyyxy290101fxfxxx18实用文案标准文档4.5.三、计算题（每题15分，共60分）1.已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案1.解，，所以分段线性插值函数为2.已知线性方程组120ff1200.11.1,0,1,210.11kkyykkyL211yx1.5f0,1x1010.510.50110xxLxx%1,2x210.50.20.30.81221xxLxx%10.50,10.80.31,2xxLxxx%1.50.80.31.50.35L%1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx实用文案标准文档（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得3.用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案00,0,0X1X1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84xxxxxxxxx1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx(0,1...)m1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx(0,1...)m10.72000,0.83000,0.84000X10.72000,0.90200,1.16440X3310xx1,2实用文案标准文档3.解，，，，，故取作初始值迭代公式为，，，，方程的根4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案4解梯形公式应用梯形公式得辛卜生公式为331fxxx130f210f233fxx12fxx2240f2x3111112113133nnnnnnnnfxxxxxxfxx312121()31nnxx或1,2,...n02x3122311.88889321x32221.8888911.8794531.888891x210.009440.0001xx33221.8794511.8793931.879451x320.000060.0001xx1.87939x1011dxx2babafxdxfafb101111[]0.75121011dxx实用文案标准文档应用辛卜生公式得四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得得，。所求公式至少有两次代数精确度。又由于[4()]62babaabfxdxfaffb1011010[04()1]162dxfffx1111[4]1610111225361010hhfxdxAfhAfAfh101,,AAA21,,fxxx1011123112()02()3AAAhhAAhAAh1113AAh043hA3334443333hhhhhhxdxhhhhxdxhh实用文案标准文档故具有三次代数精确度。一、填空（共20分，每题2分）1.设，取5位有效数字，则所得的近似值x=.2.设一阶差商，则二阶差商3.设,则，。4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝。40333hhhhfxdxfhffh2.3149541...x21122114,321fxfxfxxxx322332615,422fxfxfxxxx123,,______fxxx(2,3,1)TX2||||X||||X21.250xx1.25xx01x1______x。00'(,)()yfxyyxy1______ky。1151A实用文案标准文档7、设，则和。8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。填空题答案1、2.31502、3、6和4、1.55、6、7、8、收敛9、2()35,,0,1,2,...,kfxxxkhk12,,nnnfxxx123,,,nnnnfxxxx23123101(1)(1)yxxx23121233153,,112,,416fxxfxxfxxxxx1411,,2kkkkkhyfxyfxy()6A12123,,3,,,,0nnnnnnnfxxxfxxxxh实用文案标准文档10、二、计算题（共75分，每题15分）1．设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式计算题1.答案1、（1）（2）2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案2、由，可得，3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式11310121(1)(1)yxxx3201219(),,1,44fxxxxxfx19,44x''11()(),0,1,2,...()()jjHxfxjHxfxx()()()RxfxHx3214263233122545045025xxxx522191919()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx()xx3()3xxxx1(()3)()2xxxx1()(()3)2xx’’因，故11()122xx’’（）-311()()3,k=0,1,....2kkkkxxxx故收敛。实用文案标准文档有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：（提示：利用Simpson求积公式。）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：5．利用矩阵的LU分解法解方程组计算题5.答案101612,,995ACBa00'(,)()yfxyyxy'''1111(4)3nnnnnhyyyyy()yfx’11,nnxx1111()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx11(,())nnxxfxyxdx1111112(,())()4()()(4)63nnxnnnnnnxhhfxyxdxfxfxfxyyy’’’1111(4)3nnnnnhyyyyy’’’1231231232314252183520xxxxxxxxx实用文案标准文档5、解：三、证明题（5分）1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有位有效数字。(2).对,差商()。(3).设,则。(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和。1123211435124ALU(14,10,72),(1,2,3).TTLybyUxyx令得得32231321232323333()(),()6(),:(),0,1,...()()5,0,1,...6()6655(),(),6663551,()()636nnnnnnnnnnnfxxafxxxaNewtonfxxxnfxxaxaxxnxxaxaaxxxxxaxaaa’’’’’证明：因故由迭达公式得因迭达函数而又则10,32故此迭达公式是线性收敛的。*2.40315x2.40194x*x1)(3xxxf]3,2,1,0[f(2,3,7)TX||||X()0nnkkC实用文案标准文档填空题答案（1）3（2）1（3）7（4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案2)3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案3）迭代公式2()sin0.34Lx计算0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()=0.333336xxxxxxxxxxxxLxfffxxxxxxxxxxxx