计算流体力学

計算流體力學【課程大綱】1、方程式之分類2、數值方法介紹3、數值穩定分析4、幾何建立與網格產生5、邊界條件一、方程式之分類1、物理分類●穩態問題(SteadyStateProblem)其狀態不隨時間而變，如穩態熱傳遞問題。022222yTXTT,10,10yX4321)1,(,)0,(,),1(,),0(TXTTXTTyTTYT●暫態問題(TransientProblemMakchingProblems)其狀態會隨時間而變，如一維熱傳導問題。0022)0,(,),1(,),0(,0TxTTTTtTxTTa※偏微分方程一定要有邊界條件：○穩態：○暫態：與上面反之。○振動：兩者結合。控制器=流場分析=暫態問題022XTotOTaTtTTtT),1(),0(0邊界條件，0X10)0,(TXT初始條件※X需有邊界條件，時間無限延伸，但需有初始條件。週期性(operidic)邊界亦屬態問題。▼單相流，多相流▼旋轉與否▼化學反應2、數學分類二階微分方程(Partialdifferentialequation)之通式(GeneralFrom)。smsolveracbhyperbolicacbxuxxuuyxfedcbayxgfedcbayxyyxyxx100.................21n...equatiosLaplace'(Elliptic)04)(04)(),(,,,,,),(222速度影響密度解題器動壓如，則為圓方程式方程式，若，則為雙曲線若線性非線性，之函數為3、Thewell-posedproblem該問題之解需存在且唯一，且其解需連續的與初始條件及邊界條件有關。4、方程式(Systemofequations)將一條highorder之PDE，轉換成一組1storder之PDE如：22222xyCyationRiemannequcauchyxwyuywxyuwxuvyuxuxcwxwcxucwuletxyCy0,0,...2222222221馬赫=340m/s(常溫)拋物線方程022xTOT2222222220xTyTxTyTxT拋物線【數值方法介紹】1.有限差分法(Finite-Differencemethods)將具連續性之問題的領域(domain)”分割解離”(discreatized)使要探討的變數只存在格點上，如此可將微分方程轉為代數式。(1)將問題的領域網格(meshongrid)化一變數u在一次方形領域中nkjinkjionnjijooooootutntnuproblemtransientUYXujiuYXujiuYXjiyxuyjxiuYXuyy,,,,,,,,,.....,4,3,2,1,)..()(),()(,8.0,8.0)4,5(),()(10,10標註故一、三維暫態問題可一般標註在上方，如時間座標之解離題若探討的問題為暫態問再簡化為為而變如此可進一步改善與隨固定，故由於如置換為，具將，我們將之建成一網格(2)將微分式差分化：對一連續函數u(x,y)在為處之導函數)(,0derivativeyyxxoxyxxuyxuxyxuyxxuxuooxoooxxx),(),(lim),(),(lim000000。會很接近但足夠小，沒有趨近於若xuxyxuyxxuXooo),(),(,00)1()!1()(....!2)(........),(),(..'exp...),(),(111202200nxxuxxuxxuyxuyxxuformulasTayloransionseriesTayloryxyxxunxxnnxxoooooooo或這點寫下在在此對)...()......(,...!2),(),()1(,,1,,1220rsentationrepdifferencefinitexuXUUerrorcationtrunxuuxujixxuxyxuyxxuxuijjijijijiijxxooooxxo之有限差分表示式稱為誤差則將符號改為式改寫成為將)3.....(!2)(...),(),(__)2()(0,)(0`...2220,,1XxxxuXxxxuYoXoUYoXXoUdifferencebackwarddifferenceforwarddixxuujixuXorderXerrorTruncationojiji則為相同的上式稱為表之以之誤差大小，在分表示式間之差異，該為微導函數與其有限差)5)....((02...)(612),(),(.......6)(22),(),()3(~)1()4).....((),(2,1,12333xxuuijxuxxxxuxyxxuyxxuxxxuxxxxuXxxxuyxxuyxxuXOXYXXUijxujijioooooooooooooo式，則式若將●此法為Centraldifference中央插分法)(22.081.021.11*2)1.0()1.0()(9.11.081.011)1.0()0()(1.21.0121.11.0)0()1.0(2)0(22)('12)(2中央差分後差前差：：ffxuffxuffxusolutionexactfxxfxxxfex●Centraldifference多數之流力熱傳之問題只包含1st及2nd及partialderivative且大多使用2或3個格點計算微分。】【】【】【】【】【int3..)(02043int3..)(02043)(0)(0)(02,2,12,2,12,1,1,1,poonesidexxuuupoonesidexxuuuCentralxxuubackwardxxuuforwardxxuuijxyjijiijjijiijjijijiijijji),(02)(012163016)(01288)(02)(02)(022211142,2,1,1,2224,2,1,222,1,12,2,12,2,122xtxuuutuuxxuuuuuijxuxxuuuuijxuCentralxxuuuBackwardxxuuuForwardxxuuuijxunininininijijiijjijijiijjijijiijjijijiijjijiij】【】【】【(3)Consistency(一致性)若一組PDE與其有限差分表示式間的差異隨網路尺寸的細化而減小，最終其差異會完全消失時，稱consistecy。即0.......0...ETthenmeshifTEFDEPDE(4)Round-OffPDE之”exact”analyticsolution在計算數值時只能取有限項，因而產生round-offerrorPDE之近似解，則因一個格點的數值多次反覆被計算且計算位數不夠多而產生”累進”誤差此亦為ROUND-OFFERROR增加格點數可減少T.E但可能增加round-offerror。)(212222yuxuvxyuvxuuCFD、穩定度、準確度要求(5)得到FDE之方法1Taylor-seriesexpansions2Polynominalfitting3Integralmethod4Control-volumeapproach●TaylerSeries我們希望以最多三個點來表示差分),,(21iiiuuu)5.....(!3)2(!2)2()2(uexp.....333222212xixuxixuxixuuansionseriesTayloriuuiiii點上做在及先對●Finitevolume(常用)●Finiteelement=屬於積分方程(少用)RsdsnTkdRTkTkqKTkqlawsFourier0*)()(*)(**)(..'為定值可將方程式寫為式為例根據以二維穩態熱傳導方程根據(divergencetheorem)在二維中02/1,2/1,2/121,jiyTykjiytxkjiXTyKjixTyk上式代表在穩定狀態下各邊界進入的熱量等於離開的熱量，是符合守恒定律之代表示。下標的”1/2”代表兩格點之中間位置，若以centraldifference來近似導函數，即：0)(2)(2021,1,2,1,11,1,,1,1yTTTxTTTYXKyTTXKyTTXKxTTyKxTTykjiijjijiijjiijjiijjiijjiijji得將上式除以此與Towlor-seriesexpansion方法得一致的表示式，但邊界上則有不同如上圖中”B”點位置，若邊界上假設為對流邊界條件，即wxTkTThw)(在壁面上下標設定為(1,j)即jxTkTThj,1)(,1)(0/)()(02/)43()(,,1,22,3,2,1,1xxTTkxxTTkTThFDMjjjjTjj則若為●若以FVM來近似，則是將B點附近有限體積畫出對其進行熱平衡可得，對其進行熱平衡可得jjjijjjjjjjjjjjjTTTkxhTkxhFDMTyxxykyhTTyxTxyTkyhFVMkyTTxkyTTxkxTTykTTyhCDjyTxkjyTxkjxTykTTyh,3,2,11,11,1,2,11,1,11,1,1,2,1,1212)23()(0)()(2)(022)()(02/1,122/1,12,2/1)(後的通通除以則來近似式中的導函數，以中央差分法則不會的話很難收斂，如果會趨近一致與很小時當FDMxyFVMFVMFPMTkxhTTkxhTxykyhTxyTkyhxTTkxhFDMijjjjjji500)1(0)()1()(,2,1,2,2,●數值穩定性我們可以將PDE以PDM或FVM改寫為代數式，但在計算迭代的過程中不保證代數式會收斂到一個答案。如果一個控制系統，在某個時間N的值為初始值，要求時間n+1時的未知數值。FINITEDIFFERENCEOPERATOR就如一個TRANSFERFUNCTION，可視為一”BLACKBOX”若是不適當的transferfwnction可能使輸入訊號錯誤，放大為無用的輸出訊號，且將會無邊界地成長。此即數值上所謂的發散(diverqe)●以暫態熱傳導為例子22xTtT將之改為FDE(FINITEDIFFERENCEEQUATION)時間方面以”顯性(explicit)差分來處理，則21112xTTTTTTnininin