计算流体力学part1(基础知识1)

流体运动的基本方程§1－1预备知识§1－2流体运动的基本方程§1－3相对坐标系中流体运动的基本方程§1－4正交曲线坐标中流体运动的基本方程§1－1预备知识一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积点积：（数量积）cos(,)abababxxyyzzabababab(,)xyzxyzaaiajakbbibjbk（1）（2）(abba交换律）一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积叉积（向量积）：（3）（4）sin(,)abccabab()()()xyzxyzyzzyzxxzxyyxijkabaaabbbababiababjababkabba几何意义：平行四边形的面积（有向面积）一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积混合积（向量－数量积）：（5）（6）()xyzxyzxyzaaaabcbbbccc()()()abcbcacab置换公式：一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积混合积（向量－数量积）：物理意义：设()cos(,)cos(,)abcauauauuaauuhV六面体体积ubc一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积二重向量积：（7）()()()()xyzxyzijkabcaaabcbcbc()abc——是一向量，方向垂至于向量和向量所构成的平面abc一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积（8）()()()abcbacabc（9）()()()abcbaccab二重向量积的分解式一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积练习：试证①()()()()abcdbacdabcd②()()()()()()abcdacbdadbc一、向量分析初步2、向量函数对于数变量的导数()xyzaataiajak()()()()()()()()()()()()xxyyzzxyzatattatattatiattatjattatkatiatjatk向量函数：一、向量分析初步2、向量函数对于数变量的导数00()()lim()()()lim()()()tyxztyxzdatatdttatatatijktttdatdatdatijkdtdtdt一、向量分析初步2、向量函数对于数变量的导数()()()()xyzatatiatjatk（10）结论：向量导数在坐标轴上的投影等于相应的向量投影的导数。向量的导数在几何上为一切向矢量。()()datatdt一、向量分析初步2、向量函数对于数变量的导数一个流体微团在空间的位置可用坐标确定，也可用向径确定：()()()()Rtxtiytjztk经过时间，流团运动到新的位置：流体微团速度为：00000()()limlimlimlimlimtttttxyzdRRRttRtVdtttxyzijktttdxdydzijkvivjvkdtdtdt,,xyzt()()()()Rttxttiyttjzttk（11）一、向量分析初步3、数量场的梯度若在数量场中的一点处，存在着矢量，其方向为函数在点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量为函数在点处的梯度，记作即：，在直角坐标系中：Ggradijkxyz,,xyzpGpgradgradG（12）p性质1：方向导数等于梯度在该方向上的投影，即：cos()GGGgrad或：（13）性质2：数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大最快的方向。pp一、向量分析初步4、向量场的通量及散度通量：设流速场，穿过面元的流量为：vMSndQdsdsdsnSSQdsdsdsndsnds为的外法线方向。对任一向量场，沿其中某一有向曲面的曲面积分：在单位时间内，穿过的流量为：AMS叫做矢量场向正侧穿过曲面的通量。特别当为封闭曲面时nSSAdsAds（14）AMSnSSAdsAds00正源负源（15）S一、向量分析初步一、向量分析初步4、向量场的通量及散度散度：设有矢量场，于场中一点处作一包含在内的任一闭曲面，设其所包围的空间区域为，以表其体积，以表其从内穿出的通量，若当以任意方式缩向点时，比式：AMSdivASAdsVVMlimlimSMMAdsdivAVV（16）MVSM极限存在，则称此极限为向量场在点处的散度，记作AMM一、向量分析初步4、向量场的通量及散度①是一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。正源，负源，无源。的场称之为无源场（如不可压流体，对单位体积流团来说，流进＝流出）divAyxzAAAdivAxyz（17）0divA②在直角坐标下，0divA0divA0divA0divA()xyzAAiAjAk③奥氏公式（通量和散度之间的关系）nSSAdsAdsdivAdV（18）一、向量分析初步5、向量场的环量及旋度环量：设有向量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的曲线积分AMAdlimlimlSMSMAdSS（20）l叫做此向量按所取方向沿曲线的环量。如在力场中，就是沿封闭路所做的功。环量密度：若极限FA（19）lF存在，则称之为矢量场在点处沿方向的环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。Note：环量面密度与法矢有关，即与有关，也就是与面元有关；环量面密度是一标量。MnnlS一、向量分析初步5、向量场的环量及旋度旋度：若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，使得矢量场在点处沿方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度，记作，即，简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。MMMAArotArotARRRRR①在直角坐标系中：(,,)(,,)(,,)APxyziQxyzjRxyzkijkrotAxyzPQR（21）一、向量分析初步5、向量场的环量及旋度有旋运动，无旋运动。应当指出，流体微团是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。流体微团速度：0rotA②斯托克斯公式（环量和旋度之间的关系）lSAdlrotAds（22）0rotA012rrrot③旋度矢量沿任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即nlimnSMnrotArotAS一、向量分析初步6、哈密尔顿算子（hamiltonoperator）gradijkxyzyxzAAAdivAAxxx记称之为哈密尔顿算子ijkxyz()()()yyxxzzxyzijkAAAAAArotAAijkxyzyzzxxyAAA一、向量分析初步6、哈密尔顿算子（hamiltonoperatoz）2(),0Laplace算子＝Note:是一个矢性微分算子，因此它在计算中具有矢性和微分的双重性质。作为微分只作用于右边，如,微分运算规则同样适用；作为矢量。计算时，先作微分运算，后矢量运算。例：试证：()fff证：()()()ccccfffffff一、向量分析初步（作业一）3()()()()()ABABABBABA4()()()ABBAAB5()()()()()ABBAABBAAB26()uuu7()0u8()0A29()()AAA1()fgfggf2()fff§1－1预备知识二、数量场与向量场的微分DdtdxdydztxyzDdtdxdydzdtdtxyzt设有数量场，在瞬时，点的数量函数值为。考虑在瞬时，与点相邻的点的函数值时，点的函数值可表示为：t(,)tRtPttPQQDRdRdRROPQ二、数量场与向量场的微分()()()()ddxdydzxyzdxidyjdzkijkxyzdR---在时间间隔内由于非定常性引起点函数的变化。dttdtPtRdR---由于在同一时刻，场内位置不同（由矢径变为）所引起的函数的变化。dR故：函数在时间间隔内，、两点的总变化为。对于定常场：dtQPD0tDd二、数量场与向量场的微分()DdtdRt对于矢量场，根据（10）式,AAtR()ADAdtdRAt（23）同理可得：（24）()ddR()()()()xyzatatiatjatk()()()()DdtdRt（数量或矢量函数）三、流动导数（随体导数，物质导数）流场中，用代表速度向量函数，代表密度和温度，则在非定常流动中，任一点，仍可用求其微分但此时，已不再是任意的向径增量了，而是代表流体微团沿其轨迹在时间间隔内所运动的距离，因而是有物理意义的，它表示流体微团运动的速度，即：，或者。vdt(,),(,),(,)tRtRTTtRdRdtdR()()()()DdtdRtPdRdt,T()()()()()()()()DdtdttDdttdRdt三、流动导数（随体导数，物质导数）对密度：()Ddttt()Ddtt(*)(*)()(*)Ddtt对速度：——加速度故流动导数的通式可表达为：*——代表任一物理量，如速度、密度、温度等流体运动的力学属性（标量或矢量）-——流场中的速度（25）三、流动导数（随体导数，物质导数）()(*)(*)Ddt——置换时间导数或换位导数、迁移导数局部时间变化率是由于流场的非定常性而引起某固定点上参数的变化，而换位导数是由于在时刻位置的变化而引起的流体参数的变化。在定常流动中，局部时间变化率为零。——总流动导数或全流动导数（拉格朗日观点）——局部时间变化率或局部导数(*)tt四、函数积分的随体导数设标量函数为体积内任一标量分布函数，对于体积有体积分(,)tR(,)nSDtRddVdSdtt定义随体导数为：（拉格朗日观点）考虑到即可随时间而改变，也可由于体积的变化而变化，因此（26）(,)tRd(,)DtRddt(,)tRd四、函数积分的随体导数（26）式右手第一项是由于的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量在单位时间里的增量。第二项表示在单位时间内，通过流体控制体表面而引起的控制体内物理量的变化，也就是系统由一个位置流到另一个位