第三章连续小波变换和离散小波变换

第三章连续小波变换和离散小波变换3.1连续小波变换（CWT，ContinuousWaveletTransform）CWT用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不能随时间与频率的不同而改变不变的问题。当窗口函数选定之后，对WFT来说，时-频窗的窗口形状是固定的，它不能随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于WFT，即信号用小波相乘，对时域信号的不同时间段计算小波变换。但是WFT和小波变换之间有两个不同之处。1.加窗信号不做Fourier变换；2.小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可改变窗口的形状。定义3.1设ψL2(R)L1(R)。若它的Fourier变换)(ˆ满足dC|||)(ˆ|02则称ψ为一个基本小波或小波母函数(motherwavelet)。以上条件称为允许性条件，常数C称为允许性常数。小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为)0(ˆ=Rdtt)(=0。“母”指的是小波变换中用到的基函数都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。定义3.2设ψ(t)是一个小波函数。对它进行伸缩和平移变换得R，b，aabtatba0)(||1)(,其中a为伸缩因子（尺度因子，scale），b为平移因子。称)(,tba为依赖于参数a,b的小波基函数。由于a,b是连续取值，故称对应的小波基函数族{)(,tba}为连续小波基函数。记小波母函数ψ(t)的窗口半径为t，中心为t0，它的Fourier变换)(ˆ的窗口半径为，中心为0，则t0=2||||1dtttR2|)(|，0=2||ˆ||1dR2|)(ˆ|t=2||||1[dttttR220|)(|)(]21，=2||ˆ||1[dR220|)(ˆ|)(]21则)(,tba的窗口中心为ta,b=at0+b，宽度为ta,b=at，)(ˆ,ba的窗口中心为a,b=a10，宽度为ba,=a1。注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号的紧缩。在数学上，设f(t)是一个给定函数，则当s1时，f(st)表示f(t)的一个紧缩，当s1时，则表示f(t)的膨胀。在小波变换中，当尺度因子a1时基函数被膨胀，当a1时基函数被紧缩。故关于时—频窗口中心及形状随尺度因子a的变化有如下几个规律：1）平移的意义在小波变换中和WFT中一样，它与窗口的位置有关，表示窗口在信号中的移动。这显然与变换域中的时间信息相关。但和WFT不一样，小波变换中没有频率参数，而有尺度参数。尺度因子a的倒数在一定意义上对应于频率。尺度因子越小，对应频率越高，尺度因子越大，对应频率越低。2）海森堡测不准原理告诉我们：在任何尺度因子a和平移因子b上，小波基函数)(,tba的时—频窗面积是不变的，即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。小尺度因子高频持续时间短窄的时间窗口，宽的频率窗口大尺度因子低频持续时间长宽的时间窗口，窄的频率窗口定义3.3设ψ(t)是一个小波函数，则连续小波变换(CWT)定义如下：WTf(a,b)=a1dtabttfR)()(从定义可知，小波变换与Fourier变换一样，都是一种积分变换，但从上述方程可以看出，变换后的信号是两个变量的函数：一个是平移参数b，另一个是尺度参数a。即小波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。函数f(t)在某一尺度因子a、平移参数b上的小波变换系数，表征的是在b位置处，时间段2at内包含的中心频率为a0、宽度为2a的频窗内的频率成分的大小。定义3.4设ψ(t)是一个小波函数，则连续小波变换(CWT)的逆变换定义如下：f(t)=C102adadbtbafWTba)(),(,小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于1:10000的是大比例尺（一般小于1:500），比例尺在1:25000和1:100000之间的是中比例尺，比例尺小于1:250000的是小比例尺（一般小于1:100万）。在地图中，在同样的图幅中，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。小比例尺（小于一百万分之一）得到的是整个地区的地形概貌，细节不多，而大比例尺（大于万分之一）得到的是局部地区的细节。类似地，在信号分析中，低频率段（大尺度因子段，相当于小比例尺）对应一个信号的整体信息（时间跨度大），而高频率段（小尺度因子段，相当于大比例尺）对应信号中一个内在模式的详细信息（时间跨度小）。幸运的是，在实际情形中，高频成分（对应于小尺度因子，相当于大比例尺）持续时间不长，它们往往以短时突变的形式出现。而低频成分（对应于大尺度因子，相当于小比例尺）往往要持续很长时间。低频信号的特点是，在较大的时间范围内幅值变化慢，其频率范围窄，于是在分析低频信号时时窗宽而频窗窄；高频信号的特点是，在较小的时间范围内幅值变化快，其频率范围宽，于是分析高频信号时时窗窄而频窗宽。3.2连续小波变换的计算设f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数。一旦选好了母小波，则从a=1开始计算CWT。一般而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算对应于有限区间内的尺度的CWT。为方便起见，计算从a=1开始，a将不断增大。即计算将从高频算到低频。a的第一个值对应最紧缩的小波。当a的值增大时，小波将逐渐膨胀。首先将小波置于信号的起始（t=0）。尺度因子为1的小波函数与信号相乘，然后关于t在R上积分。积分值乘以常数a1（主要是为了使能量规范化，以便变换后的信号有每个尺度上都有相同的能量）。最后所得的结果就是CWT在a=1，b=0时的值，这对应于时间—尺度因子平面上点a=1，b=0的变换值。然后在尺度因子a=1处的小波向右移动τ个单位到b=τ处，在a=1，b=τ处计算CWT，这相当于得到了时间—尺度平面上对应于点a=1，b=τ的变换值。重复上述过程，直到到达信号的结束。这时对应于尺度因子a=1的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。然后a的值增加一点点。本来这是一个连续变换，因此b和a的值应该连续增加。但如果用计算机来计算小波变换的话，则b和a都必须以小步长增加。这就相当于对时间—尺度因子相平面进行采样。对a的每个值重复上述过程。对每个a的计算都得到时间—尺度平面上对应一行的点的变换值。当对所有需要的a进行完毕时，我们就得到了信号的CWT在各种尺度、各个位置上的小波系数。通过平移小波，我们得到了信号的时域局部化，而通过改变a的值，我们得到了信号的频域局部化。如果该信号有一个对应于当前尺度因子a的频率成分，则在该频率成分出现的地方，小波和信号的内积（对应时间—尺度平面上的点的CWT）有一个较大的值。如果该信号没有一个对应于当前尺度因子a的频率成分，则小波和信号的内积（对应时间—尺度因子平面上的点的CWT）有一个较小或为0的值。因此，对每对尺度因子值和时间（段），我们计算出了时间—尺度因子相平面上的一个点。对应于一个尺度因子值的计算结果对应于平面上的一行，不同尺度因子上的计算结果对应于平面上的列。和WFT在所有时间和频率都有相同的分辨率不一样，小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨率。即小尺度因子（对应高频段）有更好的尺度分辨率（即能更精确地确定尺度因子的值），大尺度因子对应于更差的尺度分辨率。例已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：t＝0：0.01：1；f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，’db3’，’plot’)；title(’对不同的尺度小波变换系数值’)；Ylabel(’尺度’)；Xlabel(’时间’)；程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值越大。图1.113.3几种常用的连续小波基函数Harr小波（1910年由数学家A.Harr提出）h(t)=elsett012112101hˆ()=ie4)4(sin22i它就是后面提到的db1小波。Morlet小波(t)=e22teti0，05ˆ()=2e2)(20Marr小波(墨西哥草帽小波)(t)=(1-t2)e22tˆ()=22e22Daubechies小波（dbN小波）Db4尺度函数与小波012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52Db6尺度函数与小波Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系图1.53.4离散小波变换(DWT，DiscreetWaveletTransform)由于大量的计算都要由计算机来进行。显然Fourier变换、WFT和小波变换都不能用它们的积分形式计算。变换需要进行离散化。而且由于CWT中存在信息表述的冗余性（Redundancy）：（1）由CWT恢复原信号的重构公式不唯一；（2）小波函数存在许多可能的选择（如非正交、半正交、双正交和正交小波等），从数值计算和数据压缩的角度看，我们总希望尽量减少CWT的冗余度。因此就像在Fourier变换和WFT中一样，要对时间—频率（尺度）相平面进行采样。在小波变换中，随着尺度的改变采样率也可加以改变。在低频段，采样率可减低以节省大量计算时间。需要强调指出的是，离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的。定义3.5在连续小波基函数ψa,b(t)=)abt(|a|1（a≠0，b∈R）中，1）尺度参数离散化：a=a0j，其中a01，j∈Z；2）平移参数离散化：平移参数的离散化依赖于尺度参数的离散化，b=ka0jb0，其中b00，k∈Z。则连续小波基函数变为离散小波函数))((00020bkataajjj，j=0，±1，±2，…，k=0，±1，±2，…。在实际计算中，常取a0=21，b0=1，我们记ψj,k(t)=22jψ(2jt-k)称ψj,k(t)为离散小波函数。称WTf(j,k)=(f(t),ψj,k(t))为离散小波系数（离散小波变换，DWT）。DWT是尺度—平移相平面上按一定规则分布的离散点的函数。与CWT相比，DWT少了许多点上的值。这样自然会引起如下的两个问题：（1）{DWT(j,k)}j∈Z，k∈Z是否包含f(t)的全部信息，即能不能用它们重构f(t)?（2）任一函数是否可以表示成以{ψj,k(t)}j∈Z，k∈Z为基函数的组合？如果可以，组合的系数是什么？根据ψ(t)的不同选择，我们可得到不同类型的小波及重构公式。如果{ψj,k(t)}j∈Z，k∈Z是一个正交规范基，则小波级数变换可表示成f(t)=C))(,(),(,tkjkjfWTZkNj如果{ψj,k