《应用统计学》第7章：单个总体的假设检验

1本章教学目标了解和掌握统计推断中的另一个基本问题：参假设检验及其在经济管理中的应用；掌握运用Excel的“数据分析”及其统计函数功能求解假设检验问题。第7章单个总体的假设检验2本章主要内容：§7.1案例介绍§7.2假设检验的基本原理§7.3单个正态总体均值的检验§7.4单个正态总体方差的检验本章重点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用Excel“数据分析”功能的使用及其运行输出结果分析。难点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用。3【案例1】新工艺是否有效？某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为10560(kg/cm2)。现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取10根，测得抗拉强度为：10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670求得新钢丝的平均抗拉强度为10631.4(kg/cm2)。是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝，即新工艺有效的结论?§7.1案例介绍4某台加工缸套外径的机床，正常状态下所加工缸套外径的标准差应不超过0.02mm。检验人员从加工的缸套中随机抽取9个，测得外径的样本标准差为S=0.03mm。问：该机床的加工精度是否符合要求?【案例2】机床加工精度是否符合要求?5§7.2假设检验的原理一、实际推断原理假设检验的理论是小概率原理，又称为实际推断原理，其具体内容是：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。二、假设检验推理的思想方法假设检验推理的思想方法是某种带有概率性质的反证法。6三、基本原理和步骤例1：统计资料表明，某电子元件的寿命X～N(0,2)，其中0已知，2未知。现采用了新工艺生产，测得新工艺生产的n个元件寿命为x1,x2,···,xn。问：新工艺生产的元件期望寿命是否比原工艺的元件期望寿命0有显著提高?此问题要推断的是：是否0?这可用假设检验的方法解决，步骤如下：7本例中H0：=02.按希望出现的结果提出一个与原假设对立的假设，称为备择假设，记为H1。本例中H1：03.构造一个能用来检验原假设H0的统计量本例中，要检验的是总体均值，的优良是而X当H0为真时，X～t(n-1)nSXt/0估计,故应使用来构造检验的统计量。统计量1.提出一个希望推翻的假设,称为原假设,记为H084.给定一个小概率，称为显著性水平显著性水平是当H0为真时，拒绝H0的概率(即犯“弃真”错误的概率)。也即当检验结果拒绝H0时，不犯错误的概率为1-，从而可以有1-的可信度接受备择假设H1。5.确定要拒绝H0时统计量的取值范围，称为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界值。本例中，由于H1：0而当H0为真时，有P{t≤t(n-1)}=1-可知当统计量tt(n-1)时，就可以有1-的把握判定H0不真(犯错误的概率仅为)，故此时应拒绝H0。从而拒绝域为tt(n-1)，临界值为t(n-1)。(右边检验)，9t(n-1)0f(x)x右边检验的拒绝域本例中，若计算结果为tt(n-1)，6.计算统计量t的值，并作出检验结论则拒绝H0，接受H1，即在水平下，认为显著高于0。若tt(n-1)，就不能拒绝H0，即认为并不显著高于0。当拒绝H0时，说明在给定的水平下，和0间存在显著差异。这就是称为显著性水平的原因。10设t为检验原假设H0所用的统计量，t(n-1)为检验的临界值，由显著性水平的定义(右边检验)P{tt(n-1)|H0为真}=可知检验中可能出现以下两类判断错误：二.检验中可能犯的两类错误第一类错误——当H0为真时拒绝H0的错误，即“弃真”错误，犯此类错误的概率为。第二类错误——当H0不真时接受H0的错误，即“取伪”错误，记犯该类错误的概率为，即P｛t≤t(n-1)｜H0不真｝=由于H0不真时与H0为真时，统计量t的分布是不同的，故β≠1-。H0:无辜法官判决假设检验实际情况实际情况判决无辜有罪决策H0真H0假无辜CorrectError没有拒绝H01-TypeIIError()有罪ErrorCorrect拒绝H0TypeIError()Power(1-)ResultPossibilities结果的各种可能性RelationshipBetweena&a&间的联系两个错误有反向的关系13由图可知，减少会增大，反之也然。在样本容量n不变时，不可能同时减小犯两类错误的概率。应着重控制犯哪类错误的概率，这应由问题的实际背景决定。当第一类错误造成的损失大时，就应控制犯第一类错误的概率(通常取0.05，0.01等)；反之，当第二类错误造成的损失大时，就应控制犯第二类错误的概率。要同时减小须犯两类错误的概率，必须增大样本容量n。x0H0：μ=μ0t(n-1)H1：μ=μ1β两类错误的关系14～t(n-1)nSXt/0/2/2t/2(n-1)-t/2(n-1)0f(x)x1-设X～N(,2)，2未知，X1,X2,···,Xn为总体X的样本，给定水平，原假设为H0：=0(0为某一给定值)当H0为真时，统计量1.H1：≠0(双边检验)当H0为真时，由P{-t/2(n-1)≤t≤t/2(n-1)}=1-可得：若|t|t/2(n-1)就拒绝H0，接受H1；否则接受H0。§7.3单个总体均值的检验15当H0为真时，由P{t≤t(n-1)}=1-可得：若tt(n-1)就拒绝H0，接受H1；否则就认为并不显著高于0。3.H1：0(左边检验)由P{t≥-t(n-1)}=1-可得：若t-t(n-1)就拒绝H0，接受H1；否则就认为并不显著小于0。-t(n-1)f(x)x左边检验的拒绝域1-2.H1：0(右边检验)16某厂生产的一种钢丝抗拉强度服从均值为10560(kg/cm2)的正态分布，现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取10根测得抗拉强度为：10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670问在显著性水平=0.05下，新钢丝的平均抗拉强度比原钢丝是否有显著提高?案例1.检验新工艺的效果17案例1解答：,4.10631xnSxt/0说明新工艺对提高钢丝绳的抗拉强度是有显著效果的。本案例为右边检验问题，设新钢丝的平均抗拉强度为，2未知，故使用t检验。由题意，H0：=0，H1：0由所给样本数据，可求得：S=81，n=10，=0.05，t0.05(9)=1.8331∵t=2.7875故拒绝H0，即在水平=0.05下，显著高于0。10/81105604.106317875.2t(n-1)=t0.05(9)=1.833118在案例1中，若取=0.01，问结论如何?【解】∵t0.01(9)=2.8214，t=2.7875t0.01(9)=2.8214故不能拒绝H0。即在水平=0.01下，新钢丝平均抗拉强度并无显著提高。通常，在=0.05下拒绝H0，则称检验结果为一般显著的；若在=0.01下拒绝H0，则称检验结果为高度显著的；若在=0.001下拒绝H0，则称检验结果为极高度显著的。19课堂练习3一台自动包装奶粉的包装机，其额定标准为每袋净重0.5kg。某天开工时，随机抽取了10袋产品，称得其净重为：0.497，0.506，0.509，0.508，0.4970.510，0.506，0.495，0.502，0.507(1)在水平=0.20下，检验该天包装机的重量设定是否正确?（，S=0.00554）(2)在本题的检验问题中，为什么要将取得较大？5037.0x20nPPPpZ/)1(000)1,0(N～设总体成数为P，则当nP和n(1-P)都大于5时，样本成数p近似服从均值为P，方差为P(1-P)/n的正态分布。从而当原假设H0：P=P0为真时，统计量与前面分析完全类似地，可得如下检验方法：统计量H1拒绝域nPPPpZ/)1(000P≠P0PP0PP02/||ZZZZZZ§7.4大样本单个总体比例的检验21【案例5】某一系列电视剧是否获得成功如果能够证明某一系列电视剧在播出的头13周其观众的收视率超过了25％，则可以断定它获得了成功。假定由400个家庭组成的样本中，有112个家庭在头13周看过了某系列电视剧。在=0.01的显著性水平下，检验这部。系列电视剧是否获得了成功。解：由题意，H0：P=P0=25%，H1：P25%，样本比例p=112/400=0.28nPPPpZ/)1(000400/)25.01(25.025.028.03856.1326.201.0Z22设H0：2=02(02为某一给定值)则当H0为真时，统计量与前面分析完全类似地，可得如下检验方法：2022)1(Sn统计量H1拒绝域2022)1(Sn§7.5单个总体方差的检验)1(~2n2≠02202202)1(22/2n)1(22/12n或)1(22n)1(212n(2检验)23f(x)x0)1(22/n/2)1(22/1n/21-双边检验f(x)x0)1(21n1-左边检验f(x)x0)1(2n1-右边检验卡方检验的拒绝域24某台加工缸套外径的机床，正常状态下所加工缸套外径的标准差应不超过0.02mm，现从所生产的缸套中随机抽取了9个，测得外径的样本标准差为S=0.03mm。问：在水平=0.05下，该机床加工精度是否符合要求?解：由题意，0=0.02，H0：2=02，H1：202∵2022)1(Sn故拒绝H0，即该机床加工精度已显著下降。应立即停工检修，否则废品率会大大增加。18220200308..)1(2n【案例2】机床加工精度问题)8(2050.50715.25课堂练习4一台奶粉自动包装的包装精度指标为标准差=0.005(kg)某天开工时，随机抽检了10袋产品，测得其样本标准差为S=0.00554(kg)(1)在水平=0.25下，检验该天包装机的包装精度是否符合要求。(2)在本检验问题中，为什么要将取得较大？26统计意义上的显著和实际的显著有时，由于非常大的样本容量，你很有可能会得出统计意义上的显著性但实际中的显著性却很小。比如，假设在全国性的关于高档次的商业电视市场推广活动之前，你知道人们对你的品牌认知度是0.3。在活动结束之后，根据对20,000人的调查显示有6,168人认识你的品牌。单边检验希望能证明现在的认知比例是大于0.3,而p-值结果为0.0047，正确的统计结论是品牌名字消费者的比例现在取得了显著性改变，而在实际上这个增长重要吗？总体比例现在的估计值在6,168/2,0000＝0.3084，或是30.84%。这个增长量只比假设检验值30%多了1%。在市场推广活动中的高额费用产生的结果是否对品牌认知度有意义呢？现实中的低于1％的市场认知度的微小增长与高成本的市场活动费用相比，你应该认为这次市场活动是不成功的。如果品牌知名度提高了20％,你就能得出活动是非常成功的。27单个总体的假设检验小结