Chapter4.2常系数线性微分方程的解法

第四章高阶微分方程第2节常系数线性微分方程的解法2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法24.2.1复值函数与复值解复值函数如果对于区间atb中的每一实数t,有复数z(t)=(t)+i(t)与它对应,其中(t)与(t)是定义于区间atb上的实函数,则称区间atb上给定了一个复值函数z(t).如果实函数(t)与(t)当t趋于t0时有极限,就称复值函数z(t)当tt0时有极限,并且定义).(lim)(lim)(lim000tittztttttt2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法3复函数的连续性与可微性若则称复函数z(t)在t0连续(等价于(t)与(t)在t0连续).)()(lim00tztztt2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法4若极限存在,则称z(t)在t0有导数(可微),并记为z(t0)或z(t)在t0有导数等价于(t)与(t)在t0有导数,且有ttzd)(d0ttittttzd)(dd)(dd)(d00000)()(lim0tttztztt2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法5设z1(t),z2(t)是定义在atb上的可微函数,c是复值常数,有以下等式:ttzttztztztd)(dd)(d)]()([dd2121ttzctcztd)(d)]([dd11ttztztzttztztztd)(d)()(d)(d)]()([dd2121212020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法6复函数的指数形式设K=+i是任一复数,,是实数,t是实变量,定义eKt=e(+i)t=et(cost+isint)设K=i是K=+i的共轭复数,则有)(21costitieet)(21sintitieeitKttKee2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法7函数eKt的其它性质:结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数完全类似的性质.tKtKtKtKeee2121)(KtKtKedtedKtnKtnneKetdd2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法8线性微分方程复值解的定义定义于区间atb上的实变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的复值解,如果对于atb恒成立.)()()(d)(d)(d)(d)(d)(d1111tftztattztattztattznnnnnn2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法9定理8如果方程(4.2)中所有系数ai(t)(i=1,2,…,n)都是实值函数,而x=z(t)=(t)+i(t)是方程的复值解,则z(t)的实部(t),虚部(t)和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解.2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法10定理9若方程(ai(t),u(t),v(t)都是实值函数)有复值解x=U(t)+iV(t),那么这个解的实部U(t)和虚部V(t)分别是以下方程的解:)(i)()(dd)(dd)(dd1111tvtuxtatxtatxtatxnnnnnn)()(dd)(dd)(dd1111tuxtatxtatxtatxnnnnnn)()(dd)(dd)(dd1111tvxtatxtatxtatxnnnnnn2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法114.2.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程n阶常系数齐次线性微分方程方程中的有系数均为常数.)19.4(0dddddd1111xatxatxatxnnnnnn2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法12欧拉待定指数法(特征根法)一阶常系数齐次线性微分方程通解:x=eat.设方程(4.19)也有指数形式的解et的,为待定常数代入方程有0axdtdxtntnntnntneadtdeadtedadted1111tntntntneaeaeae1112020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法13从而方程变为则可知,et是方程(4.19)的解的充要条件是为代数方程n+a1n1+…+an-1+an=0的根.方程n+a1n1+…+an-1+an=0称为常系数齐次线性微分方程(4.19)的特征方程,其根称为特征根.0)(111tnnnneaaa2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法14特征根--分类讨论(1)特征根是单根的情形设1,2,…,n是特征方程的n个彼此不相等的根,则微分方程相应地有如下n个解:验证这n个解线性无关:tttneee,...,,212020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法15tnntntntntttttnnneeeeeeeeetW1121121212121)(1121121)(11121nnnnntne2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法16由于ij(ij),所以上述范德蒙行列式不等于零.所以W(t)0,即这n个解是线性无关的.nijjinnnnn11121121)(1112020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法17实根如果1,2,…,n是n个实数,则原微分方程有n个线性无关的实数解,则其通解为复根若方程有复根,并假设某对共轭复根为:=i,则微分方程也对应有两个复数解:tnttnececec...2121)sini(cosee)i(tttt)sini(cosee)i(tttt2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法18复值解对应的实数形式为:所以复值解对应的通解形式为:ttcosettsine)sincos(e21tctct2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法19例1求方程的通解.044xdtxd2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法20例2求解方程.033xdtxd2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法21(2)特征根有重根的情形设特征方程有k重根=1,则可知有F(1)=F(1)=…=F(k1)(1)=0,F(k)(1)0.A若1=0,即特征方程有k重零根,则特征方程有因式k.特征方程变为:n+a1n1+…+ankk=0.此时,对应微分方程为:它有k个解:1,t,t2,…,tk1,而且这些解是线性无关的.0dddddd111kkknnnnntxatxatx2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法22B若10,可作变换x=ye1t.则x(m)=(ye1t)(m)可得于是原微分方程化为其相应特征方程为另外有yymmymyemmmmt1)2(21)1(1)(!2)1(1ttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111][][11110][11111ybdtdybdtydbdtydyLnnnnnn)24.4(0111nnnnbbb.)(][][)()(1)()(11111ttttteGeeLeLeF2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法23从而由此可知,特征方程(4.21)的根1(0)对应于特征方程(4.24)的根=1=0,且重数相同.由此可得原微分方程的k重非零根对应有k个解:.,...,2,1),()()(1)(kjGFjjtktttetettee111112,...,,,2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法24假设方程的所有特征根为:1,2,…,m,它们的重数分别为:k1,k2,…,km,ki1,且k1+k2+…+km=n.则微分方程有以下解:这些所有解如果线性无关,则可构成微分方程的基本解组.以下验证特征方程上述的n个解线性无关.tktttt1111e,,e,e1tktttt2\222e,,e,e1tkttmmmmtt\e,,e,e1…2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法25假设这些函数线性相关,则有其中Aj(r)是常数,不全为零.假设多项式至少有一个系数不等于零,即Pm(t)≠0.等式两端除以e1t,对t求导k1次,可得mrttrkrrrrkretAtAA1)(1)(1)(0)(10)(1mrtrretP0)(2)(1mrtrretQ)()()()(11tStPtQrrkrr2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法26如此下去,经过m1次后,可得等式Rm(t)e(mm1)t=0,而Rm(t)与Pr(t)次数相同,且Rm(t)≠0这是不可能的,从而上述n个解线性无关,可构成微分方程(4.19)的基本解组.特征方程有复重根的情形,类似于情形(1).2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法27例3求方程的通解.0dd3dd3dd2233xtxtxtx2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法28例4求解方程.0dd2dd2244xtxtx2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法29欧拉方程可通过变量替换x=et将其变为常系数线性微分方程.此时有由归纳法知,对自然数k有:0dddddd11111yaxyxaxyxaxyxnnnnnnn(a1,a2,…,an为常数)tyexttyxytddddddddtytyetyetexytttdddddddddd22222tytytyexykkkkkktkkdddddddd1111其中1,2,…,k1都是常数.2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法30于是将它们代入原方程可得可按(1)或(2)的方法求解.tytytyxyxkkkkkkkkdddddddd11110dddddd1111ybtybtybtynnnnnn2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法31例5求解方程.0dddd222yxyxxyx2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法32例6求解方程.05dd3dd222yxyxxyx2020/2/17第四章第2节常系数线性微分方程的解法334.2.3非齐次线性微分方程.比较系数法与拉普拉斯变换常系数非齐次线性微分方程(1)比较系数法类型1设f(t)=(b0tm+b1tm1+…+bm1t+bm)et,其中及bi(i=0,1,…,m)为实常数,那么方程特解形如其中k为特征方程F()=0的根的重数(单根相当于k=1;当不是特征根时,取k=0),而B0,B1,…,Bm是待定常数,可以通过比较系数来确定.)32.4)((dddddd][1111tfxatxatxatxxLnnnnnntmmmmkeBtBt