2.4.3抛物线的常用结论大全课堂使用

1.到定点(3,0)与定直线2x-6=0的距离相等的点的轨迹是()A.圆B.抛物线C.线段D.直线知识回顾D练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy620722yx)0,1(F1y开口向右开口向左开口向上开口向下探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。练习3：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845抛物线的常用性质标准方程图形焦点准线xyoFxyoFxyoFxyoF范围对称轴顶点离心率补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。0020202020122222322422,.(),||;(),||-(),||(),||-PxypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy抛物线上一点与焦点的连线叫抛物线的焦半径抛物线的焦半径KFOxyAB2124,,,..yxABAB斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于两点求线段的长例211221212221212121211610611148222628:,:(,),(,),,,||():||()()AByxxxAxyBxyxxxxABxxxxppABxxxxp解法直线的方程为代入双曲线方程得设则解法112221221221221212223242,,,,,(),||;(),||(),||(),||AxyBxyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy抛物线的焦点弦过抛物线焦点的弦叫焦点弦设焦点弦端点则2212225(),_________.(),=,___:_.yxPPyxABAB抛物线上一点到焦点的距离为则点的横坐标为过抛物线的焦点与抛物线交于两点，则AB中点横坐标是例174:答案2.:答案焦半径与弦长公式应用问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN由抛物线定义可知,FAMAFBNB准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.∴ABFAFB=12xxp∵直线AB的方程为cot2pxy由2cot22pxyypx消去y并整理得222(2cot)0xppxp∴AB=2222cot2sinppp21122122221212204,,,.2p||=sin||21=p,.2ypxpFlAxyBxyABxxpABpxxyyp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，直线倾斜角为最短为，即为通径。结论：抛物线的焦点弦长公式特别地，时，结论2:2112220,,,.3:ypxpFlAxyBxyABAF抛物线的焦点弦问题结已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点以为直径的圆与准线相切以为直径的圆与y轴相切论111111222:,,,,,,,.ABMABMABMAABBAFBFABMM解设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则结论得证211222202,,,..s4in:AOBypxpFlAxyBxypS已知过抛物线的焦点的直线交抛物线抛物线的焦点弦问题论于两点结0221122121212222:sinsinsinsinsinsinsinOABOBFAFSSSOFBFOFAFOFAFBFOFABppp解21122201124,,,.4=25:ypxpFlAxyBxyFAFBpp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点抛物线的焦点弦问题结论通径222222111111111222220411112:,,,,,cos,coscoscos,,.:,,(),,()ABxRSlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpykxlkypxkpkxpkxpFAFBxx解法过作轴的垂线垂足分别为直线的倾斜角为同理解法若直线的斜率不存在结论显然成立若直线的斜率存设为则222pp2112211111120,,,.,,,,.F6:ypxpFlAxyBxyABABAFBFAB抛物线的焦点弦问题结论已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点过分别作准线的垂线垂足分别为则（等价说法：以为直径的圆过）1111111111111190:,//,,,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFABFOBFBAFBAFBF解同理21122201112,,,..||||7:ypxpFlAxyBxyCDFABABCDp抛物线的焦点弦问题结论已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点若是过且与垂直的弦，则022022222901112:,,:,sin,sin()cos||||ABCDpABppCDABCDp解直线CD的倾斜角为90+由问题的结论21122111111201234,,,.(),,;(),,;(),(),;:;ypxpFlAxyBxyAOBBOAAOBBBxBOAAAx已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点三点共线三点共线设直线与准线交于则平行轴设直抛物线的焦点弦问线与题结准线交于则平行论轴811112221112212221222222234:,,,,,,.(),(),().oAoBoAoByyyypkkpyxyppypyypkkppyAOB解而三点共线同理可证29:2,,2p,0结论抛物线C:过C的顶点作两条弦则互相垂直直线过定点（）.ypxOAOBAB动态图像演示例1.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______.变式1：过抛物线y2=4x的焦点，作斜率为1的直线L交抛物线于A、B两点，则|AB|=______10，84.（2010山东文）已知抛物线22(0)ypxp，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（A）1x(B)1x(C)2x(D)2x变式2【答案】B例2：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标yxFo..PA(3,2).抛物线应用于最值问题答案：7/2，（2，2）变式训练1:(2008·辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()179..3.5.22ABCD22117(0)(20).22d最小距离A典型例题311.（2010重庆文）已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF，则BF____________.变1（2010重庆理）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.24yx3AFFB你能用我们刚刚学过的结论解决这个问题吗？变式23.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10）设抛物线2:4Cyx的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点。若||3||AFBF，则l的方程为（）A.1yx或1yxB.3(1)3yx或3(1)3yxC.3(1)yx或3(1)yxD.2(1)2yx或2(1)2yxC上一题的详细解答【解题指南】设出A、B点的坐标，利用抛物线的定义表示出,AFBF，再利用||3||AFBF，确立l的方程.【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=13，当x1=3时，2112y，所以此时11223y，若123y，则123(3,23),(,)33AB,此时3ABk,此时直线方程为3(1)yx。若123y，则123(3,23),(,)33AB,此时3ABk,此时直线方程为3(1)yx.典型例题43．（2014新课标全国Ⅱ，5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案：D22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与轴的交点为定点例5：.yxOAOBABx:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立222,AAxykkxyxky212联立22,2BBxkyk(1)k22222212ABkkkkkkk.FxOyBA22222:y(),1(2)1kABxkkkkyxk即ABx直线与轴的交点为定点(2,0).1,,(2,0)kAByAB当时∥轴与x轴相交于点,(2,0).AB综上所述直线与x轴的交点为定点22222212ABkkkkkkk.FxOyBA1122(.),(,),AB:AxyBxyykxb另解设xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即:2ABykxk)0,2(轴交点与x.FxOyBA,(2,0)AByAB当∥轴时与x轴相交于点综上所述,直线AB与x轴的交点为定点(2,0).22(,0)y2x.1AP,PA. 2P,Pxy30,.,3已知抛物线设点的坐标为在抛物线上求一点使最小在抛物线上求一点使到直线的距离最短并求出距离的例:最小值4题型四与抛物线有关的最值问题222222(3211()2().333[]1Px,y,PA)yx0,x0,P2,3AAP0,0.xxxx解设则≥且在此区间上函数单调递增故当时有最小值离点最近的点题型四与抛物线有关的最值问题20200000020| 21:Px,yy2x,Pxy33||3|222|(1)5|,2252.41(,10y1.2,d)Pyyxydy方法设点是抛物线上任一点则到直线的距离为当有最小值点的坐标为题型四与抛物线有关的最值问题