线性方程组

第1讲线性方程组与矩阵的有关概念首先是《线性代数》课程的一个简单说明.其次讲解以下内容：1.线性方程组的有关概念2.矩阵的有关概念邓辉文编著《线性代数》LinearAlgebra清华大学出版社,2010.参考资料：1.邓辉文编著《线性代数学习指导与习题解答》清华大学出版社,2010.2.魏战线,工程数学《线性代数》(第2版),辽宁大学出版社,2000(全国高等教育自学考试教材)(有同步辅导/同步训练配套教材)前言一.代数最早就是求解方程或方程组.线性代数需要解决的第一个问题就是求解线性方程组.代数就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的一种数学结构.运算运算运算运算二.线性代数的研究对象是线性空间,包括其上的线性变换线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘的线性运算，这些线性运算须满足一定的性质进而构成线性空间.线性运算线性运算线性运算线性运算LinearSpace从广义的角度看，线性代数研究的是“线性问题”.直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就是线性问题.即使是大量出现的非线性问题有时也会转换成线性问题进行处理，如高等数学中的微分等.三.矩阵和向量是重要的代数工具.在一定的意义上，它们以及其上的一些运算本身就构成线性空间.线性代数的主要内容分别是线性方程组、矩阵代数、向量空间、以及与线性变换密切相关的方阵的特征值和二次型这种线性空间之间特殊的双线性函数等(Seebelow).以线性方程组为主线、以矩阵和向量为工具.线性方程组矩阵行列式向量特征值特征向量二次型代数几何四.线性代数的特点是内容较抽象、概念和定理较多，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透.五.为何学习线性代数.–线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优化问题的讨论中会用到.–在计算机程序设计语言特别是MATLAB中，矩阵是最基本的数据结构.–在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、线性变换是经常要用的知识.–随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更高的要求.六.学习线性代数要达到的目的.通过线性代数的学习，一方面可以进一步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚实的基础，另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法.七.线性代数的主要内容Chapter1线性方程组Chapter2矩阵代数Chapter3向量空间Chapter4特征值与特征向量Chapter5二次型八.MATLAB程序设计语言MATLAB:matrixlaboratory.MATLAB(1)强大的数值计算和(2)符号计算功能、(3)卓越的数据可视化能力和(4)适用于各行各业的不同的工具箱.基本教学工具.是攻读学位的理工科,甚至文科大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能.本书介绍了使用MATLAB求解线性代数问题的一些常见命令，希望能引起大家学习兴趣，较早进入MATLAB世界.九.每章都有精选习题，有些选自历年的研究生入学考试线性代数题目.第1章线性方程组线性方程组是线性代数的基本内容,是贯穿线性代数的一条主线.(线性代数最早的重点内容就是求解线性方程组.)学习线性方程组的重要性.线性方程组行列式消元法矩阵向量空间1.1线性方程组与矩阵的有关概念1.1.1线性方程组的有关概念521yxyx1123223821952zyxzyxzyx1248125.00dcbadcbaddcba对所考虑的未知量来说，和式中每项次数最高是一次的方程称为线性方程(linearequation)，否则称为非线性方程(nonlinearequation).对于未知量x,y,z:√5432zyx523zyxy0eexyyzyx2sin32在高等数学中，对于未知函数y(x)以及未知函数y(x)的导数来说，最高是一次的微分方程称为线性微分方程.)()()('''xfyxQyxPy)(3'xfyy每个方程均是线性方程的方程组称为线性方程组(systemoflinearequations).n元线性方程组的一般形式为mn线性方程组.aij系数与bi常数.mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111m和n是任意正整数，其关系可能为下列三种情况之一:–m=n(恰定线性方程组:properlydeterminedequations).–mn(超定线性方程组:overdeterminedequations).–mn(欠定线性方程组:underdeterminedequations).对于n元线性方程组，应该讨论:(1)解的存在性.(2)求出其所有解，包括讨论解的个数.1.1.2矩阵的有关概念1、矩阵在讨论n元线性方程组的有关问题时，矩阵是一个很方便的工具.3阶幻方:4阶幻方?4923578164923578165阶幻方?1141541276981110513231615219623221411810921135171682512432072411矩阵就是由一些数，也可以是一些表示数的符号，按一定顺序排成若干行和若干列的一个表格.Definition1.1mn矩阵(matrixofsizemn).圆括符()或方括符[]将其括起来，但不能使用{}或||等符号.mnmmnnaaaaaaaaa212222111211黑体及斜体(英文或希腊、大写或小写)字母或带下标A,B,C,A1,A2,A3,a,b,c,p1,p2,p3,,,,1,2,3等表示矩阵.第i行元素,第j列元素.(i,j)位置元素aij是用双下标表示的，第一个下标表示该元素所在的行，第二个下标表示该元素所在的列，这种表示方法本身就有一定的创意.系数矩阵(coefficientmatrix):增广矩阵(augmentedmatrix):最早出现的矩阵!!mnmmnnaaaaaaaaa212222111211Ammnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211B例1.3系数矩阵和增广矩阵分别为43221074323213232121xxxxxxxxxx42103132110174021,132110174021BA在写线性方程组的系数矩阵和增广矩阵时，一方面要按一定顺序，如x1,x2,x3或x,y,z得出未知量的系数，另一方面，若有缺位，如例1.3中的第1个方程没有x3，就认为x3的系数为0.有m行n列的矩阵A，就是“mn矩阵”，读作“m行n列矩阵A”.在mn中，行数m写在的前面，而列数n写在的后面.复矩阵(complexmatrix)与实矩阵(realmatrix).行矩阵:列矩阵:方阵(Square):nn矩阵又称为n阶矩阵(matrixofordern)或n阶方阵(squarematrixofordern).n阶方阵A也可以表示为或.由一个数a构成的1阶方阵(a)就是元素a本身，即(a)=a.),,,(21naaambbb21主对角线(principaldiagonal)，简称为A的对角线(diagonal).次对角线(secondarydiagonal).Remark只有方阵才有对角线.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211例1.4,4321343332312423222114131211321PPPPaaaaaaaaaaaaSSSWeightPrice42413231222112114321bbbbbbbbPPPP2、转置矩阵转置是另外一种排列方式:概念?转置实际上是矩阵的一种运算--转置运算?111031722041132110174021TAA'A3、几种特殊矩阵(1)单位矩阵,10012E1000100013E111E(2)对角矩阵单位阵是对角阵.对角线元素相同的n阶对角阵称为数量矩阵(scalarmatrix)，其一般形式为).,,,(diag2121nn).,,,(diagkkk(3)零矩阵元素全为0的mn矩阵称为零矩阵(zeromatrix)，记为0或0mn.00000032000000000030(4)上(下)三角阵对角线以下元素全为0的方阵称为上三角阵(uppertriangularmatrix):nnnnaaaaaa22211211对角线以上元素全为0的方阵称为下三角阵(lowertriangularmatrix):nnnnaaaaaa212221114、矩阵相等A=B:矩阵A和矩阵B对应的元素分别相等.Remark只有同型的两个矩阵才可能相等.例1.5?,,,3204dcbacbadbaA=[1，2，3；4，5，6；7，8，9]A'B=A'在MATLAB中有很多产生特殊矩阵的命令，如元素全为1的矩阵ones(m,n)、元素全为0的矩阵zeros(m,n)和[0，1]上均匀分布的随机矩阵rand(m,n)等.