电磁场与微波技术(第2章)

第2章电磁场的基本理论•电磁场中的基本物理量和基本实验定律2.1静电场2.2恒定电场2.3恒定磁场2.4时变电磁场2.5电磁场静电场恒定电场恒定磁场时变电磁场.0),,(izyxqq；).,,(),,(zyxiizyxqq；).,,(0zyxiiq；).,,,(),,,(tzyxiitzyxqq；2.1电磁场中的基本物理量和基本实验定律–2.1.1电荷及电荷密度•电量的单位是C（库仑），基本电荷e带的电量为Ce1910602.11.体电荷分布•连续分布于一个体积△τ之内的电荷，称为体电荷。体电荷密度ρ定义为q0limr2.面电荷分布•连续分布于一个几何曲面上的电荷，称为面电荷。设面积元内有的带电量，则面电荷密度定义为SqSSqSS0limr3.线电荷分布•连续分布于一条线上的电荷，称为线电荷。设线元内有的带电量，则线电荷密度定义为lqllqll0limr•4.点电荷分布当某一电荷量q被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷。)(rrqr–2.1.2电流及电流密度•电荷的宏观定向运动称为电流。1.体电流分布•电荷在某一体积内定向运动所形成的电流为体电流。表示为SiS0limnJ2.面电流分布•电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流。表示为lilS0limnJ图2.1面电流密度3.线电流分布•电荷在一个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。若长度元•中流过的线电流为，则称为电流元。ldIldI–2.1.3库仑定律和电场强度•一个基本的实验现象是两个带电体之间有相互作用力。带电体之间没有相互接触，却有相互作用力，是因为带电体在周围的空间产生了电场，带电体之间的相互作用力是通过电场传递的。也就是说，一个带电体在周围产生的电场对另一个带电体有作用力。•假设在电场中引入一个足够小的试验电荷，则试验电荷必然受到作用力F。我们将电场强度定义为0q000limqqFE•E的单位是V/m（伏[特]/米）。库仑于1785年从实验中总结出，受到的作用力为2q1q2021124RqqReF•式中，F/m•F/m（法[拉]/米），称为真空中的介电常数；如图2.2所示。上式称为库仑定律。91201036110854.8204RqReE点电荷电场强度的计算方法图2.2两个点电荷之间的相互作用力图2.3q点电荷的电场•(2.13)••(2.14)••(2.15)r-rr-rrrerE302044ddRRSSSSRSRSr-rr-rrrerE302044ddllllRlRlr-rr-rrrerE302044dd•例2.1无界真空中，有限长直线上均匀分布着线密度为的电荷，如图2.4所示，求线外任意点的电场强度。ll图2.4例2.1用图12002100sinsin44coscoscos44sin212121rrEErrEEllzzllrrddddcos4cossin4sin2020RzEERzEElzlrdddddd解：sincsccot2rRdrzdrzz注意•例2.2一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度为常数，如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。S图2.5例2.2用图rdrrzrrrrzzrrrzrzzSbarSbazSbarzdddd202/32202/3220202/3220424eeeeE第二项：04cossin4)sincos442/3220202/3220202/322020202/3220rrrzrerrrzrde(rrrzrdrdrrzrSbayxSbayxSbarSbarddddeeee2/1222/1220112bzazzzSzeE第一项：2/1222/12202/32201122bzazzrrrzzSzSbazeed•实验结果表明，在真空中两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。1820年~1825年间，安培从实验中总结出这个作用力的规律，称为安培力定律，该实验定律用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作用力为2.1.4安培力定律和磁感应强度图2.6两电流回路间的相互作用力•(2.17a)•式中，H/m（亨[利]/米），称为真空中•的磁导率。21211220124CCRRIIeFlldd70104•B1为回路C1中的电流在电流元所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁通密度，表示为•(2.18)21212CFdF22ldI1211014CRRIelBd121102212)(4CRReldIldIFdBldI2212Fd204RIReldBd电磁感应强度的几种形式204RJRsesddB204RJReddB•磁感应强度Ｂ的单位为T（特斯拉）或Wb/m2（韦[伯]/米2）。•例2.3计算长度为的直线电流的磁场，如图2.7所示。l图2.7例2.3用图I建坐标系204RIReldBdesineee202020444RzIRzIRIRzRdddldB选择计算公式整理算式注意csccsccot2rRdrzdrzzesinesinddrIrIr4)csc(csc40220dBee)cos(cos44210021rIrIdsinB特别rIrI2)cos(cos40,021021eB2.2静电场–2.2.1真空中静电场的基本方程•静电场基本方程的积分形式为•(2.20)•(2.21)0qSSEd0CldE图2.8立体角SSRSRSqRqRqdddd02020444eSSeSE0qSSEddEd010E图2.9电场的线积分BAllRlRRqRqRq1144402020dReElldd0CdlE0SdSE0E•微分形式：0E0E•例2.4利用高斯定理求无限长线电荷在任意点P产生的电场强度。•解：由静电场的高斯定理有l0qSSEd•上式等号左边为rElrSrESrESrESrESrErrrrrrrrrzzrrzzrrS200侧面侧面侧面下底面上底面ddddddeee-eeeSE•高斯面S内的总电荷为•于是有••(2.28)lql0/2lrElrlrrrElr02•例2.5利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，•电荷体密度为。•解用高斯定理求解电场，高斯面S为半径为r的同心球面。•当时2201arar•所以••(2.29)rErSrESrErSrSrrrS24dddeeSE2530222053441arrrrarqrdd0230053arrrEr•当时•所以••(2.30)arrErrS24SEd30222015841arrarqadd02030152rarEr•电位函数，定义为•(2.31)•(2.33)EPPPAAAzyxzyxA,,,,ldE2.2.2电位函数ddddlEdldElllEE•当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷，其周围的电位为••(2.36)qCRqRRqRqPPRRRRR02020444ddle•例2.7求电偶极子的电位分布。•解一对等值异号的电荷相距一个小的距离，称为电偶极子，如图2.11所示。l210122010444rrrrqrqrq图2.11电偶极子••(2.40a)•电偶极子的电场为•(2.41)•204cosrql30304sin4cos2rqlrqlreeE304rrp•现在我们来推导电位的微分方程。•(2.42)•(2.43)•式(2.43)称为电位函数的泊松方程。对于•的区域，式(2.43)为•(2.44)•式(2.44)称为电位函数的拉普拉斯方程。000202•在直角坐标中，拉普拉斯算子表示为•(2.45)2222222zyxzyxzyxzyxzyxeeeeee•例2.8平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。图2.12电容器的截面图•解忽略电场的边缘效应，极板间电位的拉普拉斯方程为•其通解为。又因为•,•0222zdd21CzCz00zUdz•所以、。即••(2.48)••(2.49)•平行板电容器极板间电位是线性的，电场是匀强的。dUC102CzdUzdUzeE2.2.3电介质中的高斯定理及边界条件1.电介质中的高斯定理qlppP0lim304rrp图2.13电介质的极化dRdRRd14114140030PPRPdRRRPPP1dRRPPd041dRSdRdRRSnPePPPd004141束缚面电荷密度••(2.53)•束缚体电荷密度•(2.54)nSPePPPdRSdRPSSP041d•(2.57)•称D为电位移矢量或电通密度。•在介质中高斯定理成为•(2.59)•(2.60)PED0qSSDdD)()(1000PEPEEP图2.14分界面上电位移法向边界条件2.边界条件SSDSDSSnnd21SDSDDnn21(2.61)••(2.64)•Snn2211图2.15分界面上电场切向边界条件•(2.67)•(2.68)•(2.69)tt21EE2121221121tantantnntEEEE021l-llEEECd)