电磁场与电磁波习题第3章概要

第3章恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场的基本方程：0J0SdJS0SdlE积分形式微分形式0E欧姆定律的微分形式EJ焦耳定律的微分形式Ep=J均匀导体中的电位满足拉普拉斯方程02=边界条件2121nnttJJEE=Jv2121nnttSBBHHJ=101134CdRIlRB03(')()'4VdVRJrRBr03(')()'4ssdSRJrRBr线电流磁感应强度体电流磁感应强度面电流磁感应强度基本方程0SdBS0B0CdIBl0BJ（微分形式）（积分形式）ABAJ－2A0204VdVRJA面电流的磁矢量位：04SSdSRJA04lIdRlA线电流的磁矢量位：体电流的磁矢量位：恒定磁场的边界条件：(微分式)HJCHdlI介质中安培环路定律:(积分式)定义:磁场强度0BHM(A/m)1n2nBB21()0nBB21()SnHHJ3—1一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以角速度w绕一直径匀速旋转，求球内的电流密度。解：根据电流的密度公式选取球坐标系。设转轴和直角坐标系的z轴重合，球内某一点的坐标为(r,θ,φ)，则该点的线速度为Jv需要求电荷密度与电荷运动速度vsinrrezv=e343qae33qrsinJv=4aθzxy3—2球形电容器内、外极板的半径分别为a、b，其间媒质的电导率为σ，当外加电压为U0时，计算功率损耗并求电阻。设内、外极板之间的总电流为I。由对称性，可以得到极板间的电流密度为解：要求损耗功率P，需要求Ep=Jabrre2IJ=4r由欧姆定律的微分形式EJ得24rIEerJ(a≤r≤b)从而得到re2IJ=4r1reb02UJ=1raEp=J221JEb02Up=J1raabrdr222221111babdrrbbbbb2202za4b00022a2UP=p4rdr=4rdr1ra4U4U4U=dr=111raaa求出电流I后，可以利用电路公式：1111abab00UU1R==4UI41111abab20004U4UP=IU=U3—3一个半径为a的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为σ。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解；当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I，则任意点的电流密度为导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)接地电阻为有用静电比拟法的；还有利用上题的结果的。3—5如图3—8，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d1和d2，介电常数分别为，电导率分别为，当外加电压U0时，求分界面上的自由电荷面密度12和12和解：分界面上的自由面电荷密度为可由边界条件确定1122JEE1212JJEE＝＝于是01122UEdEd12012UJdJd01212UJdd设电容器极板之间的电流密度为J，则21SnnDD1212JJEE＝＝分界面上的自由面电荷密度为01212UJdd3－9求载流为I、半径为a的圆形导线中心的磁感应强度。解：电流元Idl在中心处产生的磁场为：zxy03'4'IdlrrdBrr0'rrrae'0rrrraeae'rradlade200330'44'radeaeIdlrrIBarr00242zzIIBeeaa101134CdRIlRB2030sincoscossin4xyxyadeeaeeIaxy0φeφ'cossinxyrraeesincosxydladeadee03'4'IdlrrBrr220304zIaBeda20304radeaeIa3-12两个半径都为a的圆柱体，轴间距为d，d2a。除两柱重叠部分R外，柱间有大小相待、方向相反的电流，密度为J，求区域R的B。解：将R区分别加上相反的电流J，则左边的圆柱中电流在R区产生的磁感应强度为：2111012BdlrBrJ0112rJB01112rJBe同理，右边边圆柱中电流在R区产生的磁感应强度为：0222rJB02222rJBe0CdIBl由于有：1122zzeeeeeezxyφeeze0102121222zzrJrJBBBeeee011122zJerere0022zxyJJdedee3－16B在这条闭合线上相等解：设导线和z轴重合。用安培环路定律，可以得到直导线的磁场为0CdIBl04VdVRJA方向相同由以上磁矢位的的计算公式可知，磁矢位的方向与电流的方向相同选取矩形回路C，如图所示。在此回路上，注意到磁矢位的参考．磁矢位的线积分为与垂直＝AlAl0＝A0dr0rrdrr可得dAdSBll验证：00rzzeeerrrzA3—18一个长为L、半径为a的圆柱状磁介质沿轴向方向均匀磁化(磁化强度为M。)，求它的磁矩。若L=10cm，a=2cm，M。＝2A/m，求出磁矩的值。解：磁介质的磁化电流分体电流和面电流两部分，介质内的等效磁化电流的公式：Mm磁化电流J0M0nre0zMMemJ＝0000rzmeeerrJrzMMnms磁化面电流J共有3个面：上顶面、下底面和侧面sinABAB根据叉乘的定义：对于上顶面，Mn0与之间的夹角为0上顶面的面电流：x0M0nrezy00mszzJMnMee下底面的面电流：00mszzJMnMee同理，侧面的面电流：00mszrrJMnMeeMe侧面的总电流：0msIJLML磁矩：220mISIaMLa由于是均匀磁化，可以用以下方法：20mMVMLa020.10.02MLa将、、代入上式可得24220.10.022.51210Amm=3—19球心在原点、半径为d的磁化介质球中，(M0为常数)，求磁化电流的体密度和面密度。202zzMeMa解：磁化电流的体密度为202zzMeMamJ＝00rzrzzmzeeerreMMJerzrrM＝0在球面上Mnms磁化面电流J222200sinmszrzJMnMeeMeaza＝zereecosza在球面上有22002cossincossinmsaJMeMea＝3—26空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储存的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并由此求单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布，则电流密度为：2IJaCHdI根据安培环路定律l2222CIHdHrJrral22IrHaraarb2IHr单位长度的磁场能量为：22000112222abmaWHrdrHrdr22002011222222abaIrIrdrrdrar2200ln164mIIbWa222001ln2164mIIbLIWa00ln82bLadr之内H保持不变abρd