2016年高中数学多元函数求最值问题专题

1多元函数求最值问题一.【问题背景】多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。二.【常见的方法】导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等主要思想方法：数形结合、化归思想等三.【范例】例1：已知实数,xy满足0xy，且2xy≤，则213xyxy的最小值为。方法一因为422xy≥，所以21214()()[(3)()]332333322xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy≥≥当且仅当221,322xy取等号，故213xyxy的最小值3224【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。方法二利用不等式222ababpqpq≥，引证：记向量(,),(,)abxypqpq，因为222xyxy≤所以222ababpqpq≥，则2212132xyxyxy≥3224≥【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。方法三因为0,2xyxy≤，所以01y又因为2121332222211yxyxyyyyy≥2113228246(3)3yy≥当且仅当221,322xy取等号【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。方法四因为2xy≥，所以211133221322xyxykkxyxyxyxykk≥，其中ykx记111322kkgkkk，0,1k因为22228404246kkgkkk，令0gk，得4257k由于gk在425(0,)7上递减，在425(,1)7上递增故min425322()74gkg，所以213xyxy的最小值3224【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。例2：已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为____．方法一：依题可得22222234344xxyxxyxy≤因为,xy均不为0，故22234xxyxy≤4，所以4≥【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。方法二：因为,xy均不为0，所以222234341()yxxyxyxyx≥令ytx，则2341tt≥，记2341tftt，由导数法可知因为1,4ft，所以4≥【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。方法三：因为22234xxyxy≤所以22(3)40xxyy≥当3时，则2340yxy≥显然不成立当3时，同除2y得2(3)()40xxyy≥3故3016430≤解得4≥【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“”法解决，但此法局限于二次问题。变式练习：22222xxymxy≤对于一切正数,xy恒成立，则实数m的最小值为。例3：设实数,,abc满足221abc≤≤，则abc的最小值为。方法一：因为22cab≥所以22abcabab≥22111()()222ab故abc的最小值为12【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。方法二：因为22cab≥所以22abcabab≥又因为222()2abab≥故222()2ababcababab≥≥211122ab故abc的最小值为12【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。方法三：换元法令cos,cos,0,1arbrr222222cossin2sin()421sin()sin()2424abcababrrrrr≥故abc的最小值为12【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。变式练习：已知,,xyzR，且2221,3xyzxyz，则xyz的最大值是。527例4：已知正实数,ab满足2291ab+=，则3abab+的最大值为.4方法一：利用不等式222112xyxy≤可得2222191132323baababba≤，则3abab+的最大值为212【评注】直接利用基本不等式解决问题。方法二：由2291ab+=可得16ab≤，则因为323abab≥，此两处取号时均为3ab故123122323236ababababab≤≤==+×【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。方法三：因为2222222()()1116139616(3)9()abababababababababab骣÷ç====÷ç÷ç桫++++++-由2291ab+=可得16ab≤，则21372abab≤骣÷ç÷ç÷ç桫+，所以3abab+的最大值为212方法四：令3sin,cos,(0,)2ab，则1sincos33sincosababqqqq=?++令sincos,(1,2]tt，则21sincos2t于是1sincos11()33sincos6abtabtqqqq=?-++，由于函数1fttt在区间1,2上递增，故当2t时，取最大值212四．巩固练习1.设实数6n，若不等式08)2(2nxxm对任意2,4x都成立，则nmnm344的5最小值为.8032．已知max32,42,16Mxxyy，则M的最小值为。19103.已知1,1,,,222cbacbaRcba，则a的最小值为___________。134.已知na是等差数列，若221510aa≤，则56789aaaaa的最大值是．255．ABC的三边长分别为,,abc，并满足abc≤≤，记min,bcKab，则K的取值范围是。511,2