21.4_二重积分的变量替换

二、二重积分的一般换元法一、利用极坐标计算二重积分§21.4二重积分的变量替换一、利用极坐标计算二重积分1(,),niiiifxy积分和极坐标变换=cos=sin(0,02).xryrr，，考虑有界可求面积区域D上的连续函数f在D的二重积分，则对D的任一分割T，我们希望可以表示一、利用极坐标计算二重积分iiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21,iiirrAoDiiiiirriirrr'(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrd11(,)(cos,sin),nniiiiiiiiiiiifxyfrrrr积分和极坐标系下的二重积分如果积分区域可表示为D’:j1()rj2(),ab,则'(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrdrDo)(1jr)(2jrabroD)(1jr)(2jrab'(cos,sin)Dfrrrdrd.)sin,cos()()(21jjbardrrrfd极坐标系下的二重积分如果积分区域可表示为D’:1(r)2(r),arb,则'(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrdroD2()r1()rba'(cos,sin)Dfrrrdrd21()()(cos,sin).brarrdrfrrd讨论区域如下图,如何确定积分限?roD)(jrabDor)(jrDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(0jbardrrrfd(1)(2)(1)(2)Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020jrdrrrfd下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(jrDoyx)(jrDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(思考:例1写出Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.解在极坐标系下sincosryrx1yx122yx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例2计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.注:利用此例可得到反常积分公式2d02xex事实上,2(1)4Re22(1)4Re/4/42D1DD2例3计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解03xy32yyx422sin4r03yx61yyx222sin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15例4.求球体被柱面xayx222所截得的立体（Viviani体）的体积.解:由对称性可知,体积等于第一挂限的4倍2224ddDaxyxycos2022d4arrra)322(3323aoxyza2V=42244ddDarrrxyD(D如图)2cos222204d(42)1aarar32222cos01()34|aarbaxxfd)())((txjbajjtttfd)()]([定积分换元法二、二重积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(偏导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDTvuvuJdd),(d面积元素的关系为二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(注记：1、如仅在D’的个别点或者一条直线上为0,则换元公式成立。(,)Juv2、此公式对应定积分:()(())'()bafxdxfxtxtdtba3、注意该公式中Jacobian有绝对值，这是因为二重积分化为累次积分后下限总是小于上限。vuvuJdd),(d面积元素的关系为二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(例5.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuevuDdd211ee2yxDxoy2121212121xyxye,ddyx)(DDD2vvuvuuovybx2yax2Doyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例6.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq练习题填空题:1、将Ddxdyyxf),(,D为xyx222,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________.2、将Ddxdyyxf),(,D为xy10,10x,表示为极坐标形式的二次积分为______________.3、将xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.4、将2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分为______________________.练习题答案1、rdrrrfdcos2022)sin,cos(；2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3、sec2034)(rdrrfd；4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；