21.4第1课时 利用二次函数的最值解决实际问题解析

数学新课标（HK）九年级上册21.4二次函数的应用第1课时利用二次函数的最值解决实际问题基础自主学习学习目标知道用配方求二次函数最值的方法，会利用二次函数的最值解决问题第1课时利用二次函数的最值解决实际问题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米2．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52(t－4)2＋40，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为()A．2sB．4sC．6sD．8sCB第1课时利用二次函数的最值解决实际问题3．某种采用快速制动的飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝40t－t2，飞机着陆后滑行的最远距离是()A．400mB．300mC．1200mD．800m4．周长为16cm的矩形的最大面积为____．A16cm2[解析]设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为(8－x)cm，其面积S＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2.第1课时利用二次函数的最值解决实际问题255．[2014·沈阳]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为________元．[解析]设利润为y元，则y＝(x－20)(30－x)＝－x2＋50x－600＝－(x－25)2＋25，因为a＝－1＜0，所以当x＝25时，y有最大值．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[归纳]利用二次函数的性质求最值或最大利润，关键是将实际问题建立成二次函数模型，然后通过配方得出函数的最值．重难互动探究第1课时利用二次函数的最值解决实际问题探究问题一利用二次函数求几何图形面积的最值例1[教材例题1变式题]有一条长为7.2米的木料，做成如图21－4－1所示的窗框，问窗框的高和宽各取多少米时这个窗户的面积最大．(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[解析]首先根据题意建立数学模型，即写出题目中窗框的面积与窗框的宽(或高)所反映的函数关系式，然后配方，写出顶点坐标，从而确定窗框的高和宽．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题解：设窗框的宽是x米，则窗框的高是7.2－3x2米，则窗的面积S＝x·7.2－3x2＝－32x2＋185x，配方，得S＝－32x－652＋5425，所以，当x＝1.2米时，S有最大值．当x＝1.2时，7.2－3x2＝1.8.∴当窗框的宽是1.2米，高是1.8米时，窗的面积最大．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[归纳总结]注意窗户中有一个横档，相当于有三个宽．解题关键是正确表示出窗框的宽和高．探究问题二利用二次函数求实际问题中的最值第1课时利用二次函数的最值解决实际问题例2[教材例题变式题]我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产销售每年的投入资金x万元与所获利润P万元之间的函数关系式为P＝－1100(x－60)2＋41.当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的每年的投资金额x万元与所获利润Q万元之间的函数关系式为Q＝－99100(100－x)2＋2945(100－x)＋160.第1课时利用二次函数的最值解决实际问题(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[解析](1)由代数式P＝－1100(x－60)2＋41可知当x＝60时，可获得利润最大值，继而求得5年所获利润的最大值．(2)前2年的利润加上后三年的利润再减去前2年每年拨出的修路费50万元即可．(3)不开发5年所获利润的最大值是205万元；若按规划实施，5年所获利润(扣除修路后)的最大值是3175万元．比较可知，该方案具有极大的实施价值．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题解：(1)当x＝60时，P取得最大值为41，故不进行开发，五年获利的最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝－1100（x－60）2＋41＋－99100x2＋2945x＋160＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1065，表明x＝30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3195(万元)，故五年获利最大值为80＋3195－50×2＝3175(万元)．(3)有很大的实施价值．规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[归纳总结]本题已给定函数之间的关系式，一是要分清哪种情况用哪个关系式，二是要注意自变量的取值范围，在自变量的范围内求函数的最大值．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题例3某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若以每箱50元销售，平均每天可销售90箱．价格每升高1元，平均每天少销售3箱．(1)写出平均每天的销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式；(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式；(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，问当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[解析]本题中的价格可能降价也可能涨价，故分两种情况，每箱的利润＝售价－进价．解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50－x)元，因而可多售出3(50－x)箱，∴y＝90＋3(50－x)＝－3x＋240.当50＜x≤70时，则涨价(x－50)元，因而少售出3(x－50)箱，∴y＝90－3(x－50)＝－3x＋240.因此，当40≤x≤70时，y＝－3x＋240.第1课时利用二次函数的最值解决实际问题(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x－40)元，平均每天的利润W＝(240－3x)(x－40)＝－3x2＋360x－9600.(3)W＝－3x2＋360x－9600＝－3(x2－120x＋3600－3600)－9600＝－3(x－60)2＋1200，∴顶点坐标为(60，1200)．当x＝60时，W最大＝1200，即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[归纳总结]本题是二次函数在实际生活中的应用，首先正确理解题意，抓住“价格每升高1元，平均每天少售3箱．”列出销售量y与每箱售价x之间的函数关系，然后根据“利润＝销量×(售价－进价)”，列出利润W与x之间的函数关系式是解题的关键.课堂小结第1课时利用二次函数的最值解决实际问题第1课时利用二次函数的最值解决实际问题[反思]最大面积问题、最大利润问题以及给定函数关系式求最大高度、最远距离等问题都是利用二次函数的性质，求函数最值．