二、积分上限的函数及其导数(精)

二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例微积分的基本公式第五章第二节在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系:()()stvt物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程为TTsvtt21()d一、引例这里s(t)是v(t)原函数.sTsT21()()二、积分上限的函数及其导数()yfxxbaoy()xxxx()()dxaxftt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数d()()dd()()xaxfttxfxaxb意义:定理1证明了连续函数的原函数是存在的;变限积分求导:[()]()fxx[()]()[()]()fxxfxx()()d()d()ddaxxafttfttxd()ddbxfttx()d()ddxafttx()()d()ddxxfttxxaftdt例1解求.cos02xtdtdxdxtdtdxd02cos例2解求.321xtdtedxd这里dtext321是3x的函数,因而是x的复合函令,3ux则utdteu1,)(2根据复合函数求有数,导公式,.cos2x232xeu623xex321xtdtedxd23)(xudxdudtedudut12练习.求下列导数例3解.lim21cos02xdtextx求分析:这是00型未定式,应用洛必达法则.dtedxdxt1cos2)(coscos12xdtedudxuut)(cos2cosxex,sin2cosxexdtedxdxtcos1221cos02limxdtextx故完xexxx2sinlim2cos0.21e三、牛顿－莱布尼兹公式()d()()bafxxFbFa(牛顿-莱布尼兹公式)(微积分基本公式)定理2.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b](或[b,a])上的一个原函数,则记作例4解求.102dxx33x是2x的一个原函数,由牛顿-莱布尼茨公式得:例5求.112dxx当0x时,x1的一个原函数是|,|lnxdxx1212ln1ln.2ln解dxx1023031.311033x12||lnx例6解计算.|12|10dxx因为|12|x所以dxx10|12|02/122/102)()(xxxx.21完21,1221,21xxxxdxxdxx12/12/11)12()21(练习解求定积分.cos13/2/2dxx完dxx3/2/2cos1dxx3/2/|sin|dxxxdx3/002/sinsin3/002/coscosxx.23dxx3/2/2sinyoxsinyx例7.计算正弦曲线y=sinx在[0,π]上与x轴所围成的平面图形的面积.解:0dsinxxAxcos01[]121.微积分基本公式()dbafxx积分中值定理()()Fba()()FbFa微分中值定理()()fba牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式内容小结()[,],()(),fxCabFxfx则有设且P2042(3)、4(1)(3)、7(1)(2)(5)作业