第十一章 连续小波变换剖析

DigitalSignalProcessing第十一章连续小波变换短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌理想状态•既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析•又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析DigitalSignalProcessing时频堆砌“变焦”功能示意图宽分析窗窄分析窗DigitalSignalProcessing小波变换的发展•地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念•数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法•I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基DigitalSignalProcessing11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标分析窗的尺度伸缩平移(),~ttˆ**[,]22t)(1,ataa尺度伸缩平移窗函数的局域化指标*ˆ*[,]22aataaDigitalSignalProcessing尺度伸缩平移窗函数的特性尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大分析窗的时间——带宽乘积等于常数,ˆa常数DigitalSignalProcessing22/2()(1)ttte例，2()/22,()1()taatteaDigitalSignalProcessing尺度调节对时频相平面的影响调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部DigitalSignalProcessing11．2连续小波变换连续小波变换的定义2()()xtLR时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数信号小波函数尺度伸缩与平移CWT变换()t,()at*,2(,)(),()()()1()()0,()xaaCWTaxttxttdttxtdtaxtLaaDigitalSignalProcessing某尺度下CWT的计算过程某尺度和某位移下的CWT值等于求信号与小波函数的尺度伸缩平移的相关DigitalSignalProcessing连续小波变换的频域分析***11(,)()()()*()1ˆ()()xttCWTaxtdtxtaaaatIFTxFTaa****()()()()ejtjautauttFTdtaueduaaaa*ˆ(,)()()xCWTaaIFTxaDigitalSignalProcessing频域观察CWT的物理意义若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等效提取信号在不同频带的成份尺度参数a与模拟角频率参数等效频域局域化指标为*()a**垐[,]22aaaa•尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份•尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份DigitalSignalProcessing典型小波函数不同尺度下的频率特性DigitalSignalProcessing连续小波变换的逆变换Moyal定理212(),()()xtxtLR2ˆ()cd12121,,220(),()(,),(,)(),()(),()xxaacxtxtWTaWTadaxtttxtda连续小波变换的逆变换12()(),()()xtxtxttu201()(,)()xdatxtWTadcaaDigitalSignalProcessing小波函数的特性振荡性20ˆ()ˆ()()0cdtdt正则性小波函数的阶原点距*()kkMttdt*()*0()*01(,)()()1()()()!1()()()!xkkkkkktCWTaxtdtaattxdtkaaxttdtkaaDigitalSignalProcessingtau正则性小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分析信号的p阶导数以上的成份当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正则性条件高的小波函数DigitalSignalProcessing其它特性光滑性和连续性:避免短时加窗截断时的非线性影响紧支集性:时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最好的局域化特性线性相位性:防止小波变换过程中产生相位失真正交性:变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩具有解析表达式:方便连续小波变换的计算DigitalSignalProcessing常见小波函数Morlet小波200()5tjtTtee240ˆ()()TTeDigitalSignalProcessingHaar小波101/2()11/21ttt24ˆ()sin()4jjeDigitalSignalProcessing墨西哥草帽（MexicanHat）或Marr小波21/42/22()(1)3ttte21/42/22ˆ()3eDigitalSignalProcessingMeyer小波1/2/222/21/2/22208/302/32321exp4/38/33(8/3)(4/3)ˆ()4/341exp2/34/33(4/3)(2/3)jjjoreee1ˆ()()2jttedDigitalSignalProcessing无解析表达式的小波Daubechies小波系列dbN；双正交小波系列biorNr.Nd;Coiflet小波系列Symlets小波系列symN;样条小波系列DigitalSignalProcessingMatlab工具箱中常用小波及其特性比较DigitalSignalProcessing11．3连续小波变换的性质线性性12()()()ytxtxt12(,)(,)(,)yxxWTaWTaWTa时移不变性0()xtt0()0(,)(,)xttxWTaWTat尺度伸缩性0()xat0()00(,)(,)xatxWTaWTaaaDigitalSignalProcessing内积定理（Moyal定理）121(),2()(,),(,)xxcxtxtWTaWTa交叉项特性12()()()ytxtxt121222212(,)(,)(,)(,)(,)cos()yxxxxWTaWTaWTaWTaWTa冗余度和再生核000020(,)(,)(,;,)xxdaWTaWTaKaadta0000,,1(,;,)(),()aaKaattc•CWT变换结果中信息是冗余:离散化的依据，降噪•选择正交基小波函数可去除CWT变换中的相关性0000,,001(,;,)(),()()()aaKaattaacDigitalSignalProcessing11．4连续小波变换的计算机实现CWT变换的数值卷积实现(),0,1,...,sxkTk(1)**0(1)**011(,)()()()()1()()()sssskTxskTkkTkTskttCWTaxtdtxkTdtaaaattxkTdtdtaaa(1)(1)**()()()()sskTkTaatttdttdtaasnT(1)(1)**()()[(1)][((1))]'[(1)]ssaaakTkTasstdttnTdtIknTInkInka01(,)()'[(1)]'[][(1)()],()()*'()aaaxskCWTaxkTInkInkynynynxnInaDigitalSignalProcessingCWT卷积法计算过程DigitalSignalProcessing由计算[]asIkT[]sIkT归一化尺度a=1时小波函数对应的短时分析窗宽度Ts1小波采样频率1(),0,1,...,snTnNTs信号采样频率00,(2)sNTN任意尺度a小波函数对应的短时分析窗0saNT对抽样或插值得(),0,1,...,InnN(),0,1,...,aaInnNCWT变换的最大尺度值00/ssaNTNTaNNDigitalSignalProcessingMatlabCWT变换函数：Coefs=CWT（x，scale，‘wname’）1~4a1~50aDigitalSignalProcessing分析50HZ和450HZ信号成份尺度的选择采样频率为时，50HZ信号成份一个周期对应400个点，450HZ信号成份一个周期对应44个点左右。尺度等于1时对应的分析窗宽度约为4个采样点。只有当尺度等于100左右时，分析窗的宽度才能与50HZ信号成份相匹配，当尺度等于10左右时，分析窗的宽度可以与450HZ信号成份相匹配DigitalSignalProcessingCWT变换的应用特点可以在某一局部尺度范围内对信号进行精确分析较小时，分析步长仍可选任意小maxmin/aaDigitalSignalProcessing应用梅林变换计算CWTCWT卷积算法一次可以计算固定尺度下不同位移处的CWT值梅林变换一次可以计算固定位移下不同尺度处的CWT值梅林变换(),0~xtt10[()]()zMxtxttdt2,zjR210()[()]()jMMxtxtedtDigitalSignalProcessing梅林逆变换20()()jxtMedtute2200()()'()[()]ujujuMxeeduxueduIFTxu梅林变换时间方向的对数压缩(ln)utDigitalSignalProcessing梅林变换性质尺度伸缩性2[()]()jtMTxeMa乘积定理1122()[()],()[()]MMTxtMMTxt*1*12120()()()()xtxttdtMMdDigitalSignalProcessing基于梅林变换的CWT计算12()(),()()xtxtxttt1122()[()],()[()]MMTxtMMTxt222[()][()]()jtttMTMTxeMaaa*12*12120()()()()jtxtxtdteMMda*1*1200*01()()()()1'(')()'1(,)ttxtxtdtxtdtaaatxtdtaaCWTaa2*212*212(,)(,)(,)()()[()(