第二章 线性系统的数学描述

AUTOMATICCONTROL自动控制原理2.1数学模型基础控制系统数学模型的概念描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。建立数学模型的方法建立系统的数学模型简称为建模，系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径：一类是机理分析建模方法，称为分析法；另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。常用数学模型1.外部描述模型——微分方程、传递函数2.内部描述模型——状态空间法3.信号流图模型2.2线性系统的时域数学模型微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：)()()()()()()()()()(1)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(trbtrbtrbtrbtrbtcatcatcatcatcmmmmmnnnnn式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号；是对时间t的n阶导数；)()(tcn)(tc),,2,1(niai),,2,1(mjbj和是由系统的结构参数决定的系数。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。1、电气系统例1由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试写出以为输入量，以为输出量的网络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t))(tur)(tuc)()()()(tutRitudttdiLrcdttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc解设回路电流为，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为)(ti消去中间变量，得系统输入输出关系的微分方程)(ti2、机械系统例2图示为一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中是弹簧系数，是运动部件质量，是阻尼系数；外力是系统的输入量，位移是系统的输出量。试确定系统的微分方程。Fy(t)kfmkmfF)(ty解:阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:dttdyftF)()(1)()(2tkytF)()()()(2122tFtFtFdttydm整理得：)()()()(22tFtkydttdyfdttydm注：比较两个例子可以发现，这两个不同的物理系统具有相同形式的运动方程，即具有相同的数学模型。)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc)()()()(22tFtkydttdyfdttydm例1数学描述：例2数学描述：注：许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。因此数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。2.1控制系统的微分方程解析法建立微分方程的一般步骤是根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。12345控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观。拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具，它可以将时域的微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数。2.3传递函数设描述系统的微分方程为：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn则其传递函数为)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCSG11101110)()()(传递函数：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。在零初始条件下，令)()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc)]([)()],([)(tusUtusUrrcc对上式求拉斯变换，可得)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc例3试确定例1所示的RLC无源网络系统的传递函数。解由例1可知，网络的微分方程为11)()()(2RCsLCssUsUsGrc则系统的传递函数为例4试确定例2所示的机械阻尼系统的传递函数。)()()()(22tFtkydttdyfdttydm在零初始条件下，对上式进行拉斯变换，得)()()(2sFsYkfsms所以系统的传递函数为kfsmssFsYsG21)()()(解由例2可知，该系统的运动方程为传递函数的几点说明1、作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。2、线性定常系统或元件的线性定常微分方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。4、传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数N大于等于分子多项式的次数M，。MN3、传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。所以谈到传递函数，必须指明输入量和输出量。5、传递函数是在零初始条件下定义的。控制系统的零初始条件有两层含义：一是指输入量在时才起作用；二是指输入量加于系统前，系统处于稳定工作状态。6、传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。0t7、传递函数式可表示成)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsG式中p1，p2……pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、…zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点；K称为传递函数的增益。8、传递函数的分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。nnnnasasasasD1110)(9、实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理结构。10、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的中间变量是无法反映出来的。11、对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以得到该系统传递函数，并可以给出其动态特性的完整描述。2.2传递函数12、传递函数的拉氏反变换是系统对应的脉冲响应典型环节传递函数控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节。常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。比例环节的传递函数r(t)c(t)t0比例环节（无惯性环节）：c(t)=kr(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k阶跃响应：R(S)=1/SC(S)=kR(S)=k/S方框图：C(t)=kkR(S)C(S)1测速发电机：ωU(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t)G(S)=U(S)/Ω(S)=KtR2R1RC(t)r(t)运算放大器：C(t)=R2/R1r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K2.2传递函数惯性环节的传递函数惯性环节：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃响应：R(S)=1/SC(S)=kR(S)/(TS+1)方框图：C(t)=k(1-e-1/T)2k/(TS+1)R(S)C(S)电枢控制他励直流电动机：TdTmd2n(t)/dt2+Tmdn(t)/dt+n(t)＝Ua(t)/Ce若初值为0，上式的拉氏变换为：(TdTmS2+TmS+1)N(S)=Ua(S)/Ce传递函数为：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TdTmS2+TmS+1)若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)运算放大器：R2R1RC(t)r(t)Ci1i2A传递函数为：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1)=K/(TS+1)2.2传递函数当T=∞时，惯性环节近似为积分环节；当T=0时，惯性环节近似为比例环节。积分环节的传递函数3积分环节：dc(t)/dt=kr(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/S阶跃响应：R(S)=1/S，C(S)=kR(S)C(t)=kt方框图：k/sR(S)C(S)积分调节器：CUc(t)RUr(t)i1i2A在A点列方程可得：i2=i1,i1=Uc(t)/RUc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)传递函数为：G(S)=Uc(S)/Uc(S)=1/(TS)＝k/S2.2传递函数微分环节的传递函数微分环节：c(t)=τdr(t)/dt传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=τS方框图：τSR(S)C(S)4由于微分环节具有惯性实际常常以G(S)=kTS/(TS+1)形式出现。其中T为时间常数，T越小微分作用越强，当T0而KT保持有限值时，方程变为纯微分环节了。tKdttdKtut)()()()(ssKsUtsKssUsGt)()()(输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为ω测速发电机：2.2传递函数微分环节的传递函数一阶微分环节：c(t)=τdr(t)/dt+r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=τS+1方框图：τS+1R(S)C(S)5比例微分调节器：根据电路的基本定律得到以下方程组])()([)()()()()(1)()()(112212111RtiRtitutititidttiCRtiRtitucrRRRK21()2121RRCRRT)()1()(sUTsKsUrc)1()()()(TsKsUsUsGrc那么该元件的传递函数为消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系振荡环节的传递函数振荡环节：T2d2r(t)/dt2+2ζTdr(t)/dt+r(t)＝r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2ζTS+1)方框图：6RLC振荡电路：UcRUricL电路的微分方程为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Urd2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令ωn=1/√LC，ζ=0.5R√C/L则上式的拉氏变换为：(S2+2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)ωn2S2+2ωnζS+ωn2传递函数为：G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝1T2S2+2ζTS+1R(S)C(S)延迟环节的传递