第四章 等离激元

等离激元在宽能带金属中，由于价电子之间库仑互作用的长程性以及价电子易动的巡游性，将导致电子系统有两类激发：（1）集体激发（等离激元）；（2）个别激发（准电子）；在理论上，属于不能严格对角化的多体系统。*为了将体系变为纯粹的电子-电子相互作用系统，略去晶格周期场和晶格振动（声子）对电子的影响。1、等离激元和准电子系统元激发的物理图像正电背景-e对金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上运动，系统在宏观尺度上保持着电中性。电子密度的起伏由于价电子易动，而且电子间有相互作用，因此系统在微观尺度上必然存在着电子密度的起伏由于电子间的库仑作用为长程作用，那么即使局域电子密度的起伏也将在整个系统中产生电子运动的关联。金属系统元激发的来源人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量q作为集体坐标来描述这种电子运动的关联。系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡，称为等离子区集体振荡。波矢为q、频率为q等离子区集体振荡量子在固体物理中，称为等离激元（Plasmons)。在长波长区域（q=0）设每个电子相对于正离子背景的移动均为x，电子移动后所产生的电场为NexE4电子运动满足方程：xNexm24显然、每一个电子均以相同的频率振动：mNeP224P一般为5~30eV。金属中电子的个别激发费米面的概念：系统的“真空”（基态）可近似描述为在费米球内的所有状态均被电子占据，而球外为真空。FkFk相对于这个“真空”的个别激发是从费米球内k态上拿出一个电子放到球外k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电子和一个k空穴。空穴的概念电子和空穴对的个别激发能量为：)2(222)(222222qkqmmkmqkkq对于确定的q；存在一个受泡利原理限制的许可区域：激发能的界限为：0);2(2min22maxkqFkqqkqm电子激发区空穴激发区空穴激发区电子激发区激发能的界限为：).2(2);2(222min22maxqkqmqkqmFkqFkq图解表示的电子和空穴对激发区：等离激元的色散曲线：为费米速度。mkvqvFFPFPq;10322集体振动和电子空穴对激发的交叉点时cqq)1等离激元能量大于电子和空穴对激发的最大能量集体振荡既不可能被个别对所激发，也不可能衰减为个别的电子-空穴对。qmaxkq时cqq)2将出现集体振荡的衰减。征参量。别激发与集体激发的特是划分金属电子系统个区）只有个别激发。（短波时元）存在。（长波区）才有集体激发（等离激时cccqqqqq,,0电子间的相互作用对金属中的单个电子的性能也有影响，其中特别重要的是屏蔽效应。屏蔽效应是指电子间的库仑作用使每个电子周围形成了正电荷的屏蔽壳层，它跟随激发它的电子一起运动，从而改变电子间的相互作用势和有效质量。（电子+屏蔽电荷）的整体称为准电子。准电子于电子系统的集体激发这是因为长波部分已用了，显然，长波部分被扣除展开的短波部分。于库仑势说明品屏蔽库仑势来源大致相同。它与reeqeereereCCqqriqrqr222224;~准电子间的互作用势用汤川型屏蔽库仑势表示：2、互作用电子系统的哈密顿当讨论金属中电子的元激发特征时，能带效应并不重要。可以把排列晶格的正离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布，共有化电子则在此正电荷背景上运动：凝胶模型电子系统的哈密顿：作用能。用能以及它与电子的互包括正电荷背景的自作的贡献，是均匀分布正电荷背景HHrremHNijijii1,222||'212设有N个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：HeqvmHqeqveqvreqjirriqNiiqriqji,)(122222)('2124)(,)(那么：由于电子的密度：jriqqjriqqjqqriqqjrriqjjjjeereerrr,)()()()(的傅里叶分量为：因此，可得由电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：HNqvmHqqqNii))((212122代表密度起伏：这时项。只取顿中可略去相抵消。因此，在哈密在凝胶模型中恰好与子自作用能，部分代表均匀分布的电上式第二个求和项中的qqHHq0,0qqqNiiNqvmH))(('212122这就是凝胶模型中电子系统的哈密顿：在二次量子化表象中，对应于密度起伏算符与qqktrkikeCtr)(),()'(),(),('),'()'(),'(),(,',)'('kkqeCCeCCtrtrdrtrrrtrtrqkriqqkkkkrkkikk由此可求得：0],[],[],[''''''kkkkkkkkkkkkkkqkkqkqkkqkkqkkqCCCCCCCCCCCCCCCCCC足费米子反对易关系：为消灭和产生算符，满和这里考虑自旋后，由算符表示的哈密顿为：qkkqkqkkkkkkkqqqkkkkqqqNiiCCCCqvCCENqvCCENqvmH''',',',',,,122)('21))(('21))(('2123、电子集体振荡的经典理论jriqqje对电子密度的傅里叶分量求导：个电子的速度。是第jrvevqijjjriqjqj再对时间求导：jriqjjqjeviqvq}){(2由于势能与力的关系为：为势能。,FjriqqqqqqjjeqqmieNqvmv''2'2''''''4))('('211由此可求得电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程jqqqqriqjqqqqmeevqj'''222'''4)('')'('22'''4''qqqqqqqqqqNmeqqqq项两部分和分成上式中右边第二项又可方程：的项，那么可得线性化项，只保留假如略去qqqq''jriqjqPqjriqjqjjevqevqme2222)()(4或的简谐振动方程：时，可求得当qq002qPq由以上方程求出。荡频率，色散关系也可是在长波限的等离子振其中mNep224'')'('22'''4'qqqqqqqqqmeqq的项略去了在以上求解过程中我们其理由如下：为一级近似可略去。仅仅是微小的修正。作积项对于运动方程以，两个密度起伏的乘系统其平均值为零，所变的数项之和，对于平移不代表相位无规变化的指（这时分布是杂乱无章的，，电子的位置在空间的对于高密度的电子系统决定，数的相位因子又由是指数之和，而这些指)0qqrejjriqqj无规相近似（RadomPhaseApproximation,RPA)差很大。两者在高密度条件下相是各项的相干叠加，而，是无规相位的指数相加这里无规相的含义在于N0q4、量子运动方程的无规相近似我们将从算符的运动方程出发，求解互作用电子体系的近似本征值定义电子-空穴对的激发算符：kqkkqCC态上产生一个电子。产生一个空穴，在球外态上，相当在费密球内作用于系统的“真空”qkkkq代表金属中的个别激发。在互作用电子系统中这些个别激发是彼此耦合在一起的，算符的海森伯运动方程为：],[];,[kqkqkqkqHiHi密度起伏算符是总动量为的所有电子-空穴对运动的简单叠加。kkqkqCCq我们只要能解出电子-空穴对的运动方程，则电子体系的元激发谱就求得了*首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用：0)(qv0HCCEHkkkk代表独立电子系统。那么kqkqkqkqkmqkmH222202)(2],[kq这里代表不计相互作用时电子-空穴对的激发能量，是电子-空穴的自由传播。*对于互作用电子系统0)(qv'''''0],[],[)'('21],'[],[qkqqqqkqqkqkqkqkqqvHHH由于上式可改写为：qqqvqv,)()('''''],[],[)'('21],[qkqqqqkqqkqkqkqqvH*利用算出对易式：],[],[],[CABCBABCA'''''''],[],[qkqkkqqkkqkkkqkkqqCCCCCCCC代入上式，并分出项，整理后写成qqqq''与)'(''''''''''')()()'('21)()()(21],[qqqqkqkkqqkqqqkqkkqqkqkqkkkkqkkqkqkqkkkkqkqkqCCCCCCCCqvCCCCCCCCqvH第一项代表自由运动的电子-空穴对；第二项是具有相同q的所有电子-空穴对的耦合；第三项为不同q的电子-空穴对之间的相互作用；非线性部分作近似（在真空态求平均）：''000'0'')(2)()(],[qqqkkqqqkqkkkqkqkkqqkkqqnnCCCCCCCC由于平移对称性要求动量守恒，因此只有项有贡献：qq'那么：qqkkkqkqkqnnqvH))((2],[代入到密度起伏算符的线性本征方程:kqkqH],[可得：qqkkkqkqnnqv))((2)(上式对k求和并消去得到频率方程：q1)()(2)(kkqqkknnqv上式可通过图解法求解上述线性化手续使运动方程中的项自动消除，与经典情况下的无规相近似实质上相同，称为qq'量子无规相近似5、线性响应理论为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式扰动系统，观察其响应。通过扰动与响应的关系，可得知系统的元激发的信息。*设所考虑多粒子系统的哈密顿为H，它的本证能量和本征函数分别为nnE和当外场作用于系统时的附加哈密顿设为)(tHe为使响应绝热追随扰动，要求外场缓慢加上：极限。计算完后取为小正量、中引入因子在0,)()2(0)()1(teeetHtH加外场后系统的哈密顿为)(tHHtie作变换)()exp()(tHtit可消去H得)exp()()exp()()(1''HtitHHtitHtHiteee其中*先考虑纯态情况：''()'(1((,)('dtttHitttttemm）））的积分表示为：则时设若通过物理量A观察系统对外场的响应，则算符A在时刻t的量子力学期待值的海森伯绘景。是算符其中AHtiAHtitAdtAdHtiAHtidAA)exp()exp()()(*)exp()exp(**的线性项的解为准至解，所满足的方程可迭代求，才能计算必须先解得)(A'_tHe')'(1('dttHitmtem）代入上式得dtHtAdtidtAAmemtmm)]'(),(['1)('**由于mmmtEiHti)exp()exp(