近世代数1-0

2020/2/1704:45近世代数—绪论初等代数、线性代数、高等代数都称为近世代数（modernalgebra）也称为经典代数（classicalalgebra），研究的对象是代数方程和线性方程组。抽象代数（abstractalgebra），研究的对象是代数系统（带有封闭运算的集合）。2020/2/1704:45学习近世代数的意义由于近世代数在数学的其他分支、近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而它是现代科学技术的数学基础之一，是许多科技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近世代数也是数学专业的专业基础课之一。2020/2/1704:45几个有趣的应用实例1.项链问题2.分子结构的计数问题3.正多面体着色问题4.图的构造与计数问题5.开关线路的构造与计数问题6.数字通信的可靠性问题7.几何作图问题8.代数方程根式求解问题2020/2/1704:451.项链问题问题的提法：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。2020/2/1704:45数学上的确切描述设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有n种选择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有nm种。但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。2020/2/1704:45例1用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难，采用群论方法解决是最简单、有效的方法。2020/2/1704:452.分子结构的计数问题在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题，由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。例2在一个苯环上结合H原子或CH3原子团，问可能形成多少种不同的化合物？CCCCCCCH3CH3HHHH如果假定苯环上相邻C原子之间的键是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。2020/2/1704:453.正面体着色问题对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进下面以六面体为例说明此问题的数学描述。例3用n种颜色对六面体的面着色，问有多首先建立此问题的数学模型，将问题中的一些概念给以量化：少种不同的着色方法？行着色，问有多少种不同的着色方法？2020/2/1704:45设n种颜色的集合为A={a1，a2，…，an}正六面体的面集合为B={b1，b2，b3，b4，b5，b6}则每一种着色方法对应一个映射：f：BA，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法原理，全部着色法的总数为n6，但这样的着色法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同，我们要求本质不同的着色法的数目。2020/2/1704:45两种颜色（红、绿）n=26面红5面红、1面绿4面红、2面绿3面红、3面绿2面红、4面绿1面红、5面绿6面绿利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。11222112020/2/1704:454.图的构造与计数问题图论的一些基本概念：设V={v1,v2,…,vn}称为顶点集（vertexset）,E是由V的一些2元子集构成的集合，称为边集（edgeset），则有序对(V,E)称为一个图(graph)，记作G=(V,E)。作图：每一个顶点用圆圈表示，对边集中的每一个元素{i，j}用一条直线或曲线连接顶点i与j，顶点的位置及边的长短，形状均无关紧要。2020/2/1704:45例如设V={1,2,…,10},E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10},{6,8},{7,9},{8,10},{6,9},{7,10}}图G=(V,E)为12345687910此图为图论中有名的彼得松（Petersen）图2020/2/1704:45例4画出所有点数为3的图123G1G2123123G3123G4123G5123G6123G7123G8故可形成8个图。如果不考虑点号，有些图可以完全重合，这样的图称它们是同构的。例如G2G3G4是同构的。可以看出这8个图中共有4个互不同构的图。问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？2020/2/1704:455.开关线路的构造与计数问题一个有两种状态的电子元件称为一个开关，例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路？首先必须对此问题建立一个数学模型，然后用适当的数学工具来解决它。2020/2/1704:45我们用n个变量x1，x2，…，xn代表n个开关，每一个变量xi的取值只能是0或1，代表开关的两个状态。开关线路的状态也用一个变量f来表示，f的取值也是0或1，代表开关线路的两个状态。f是x1，x2，…，xn的函数，称f为开关函数，记作f(x1，x2，…，xn)令A={0，1}，则f是A×A×…×A到A的一个函数，反之f：A×A×…×AA对应一个开关线路。因此，开关线路的数目就是开关函数的数目。2020/2/1704:45f的定义域A×A×…×A中的元素个数为2n，f在每个元素上的取值有两种可能，所以全部开关函数的数目为22n，这也就是n个开关的开关线路的数目。如果不考虑开关的标号，则若开关线路结构完全相同，称这些开关线路是本质相同的。要进一步解决本质上不同的开关线路的数目问题，必须用群论的方法。2020/2/1704:456.数字通信的可靠性问题现代通信中用数字代表信息，用电子设备进行发送、传递和接收，并用计算机加以处理。由于信息量大，在通信过程中难免会出现错误。为了减少错误，除了改进设备外，还可以从信息的表示方法上想办法。用数字表示信息的方法称为编码。编码学就是一门研究高效编码方法的学科。下面用两个简单的例子来说明检错码与纠错码的概念。2020/2/1704:45例5简单检错码—奇偶性检错码设用6位二进制码来表示26个英文字母，其中前5位顺序表示字母，第6位做检错用，当前5位的数码中1的个数为奇数时，第6位取1，否则第6位是0。这样编出的码中1的个数始终是偶数个。例如，A：000011B：000101C：000110D：001001……用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的码中含有奇数个1时，则可断定该信息是错的，可要求发送者重发。因而，同样的设备，用这种编码方法可提高通信的准确度。2020/2/1704:45例6简单纠错码—重复码设用3位二进制重复码表示A，B两个字母如下：A：000B：111则接收的一方对收到的信息码不管其中是否有错，均可译码如下：000001010011100101110111AAABABBB这就意味着，对其中的错误信息做了纠正。利用近世代数的方法可得到更高效的检错码与纠错码。2020/2/1704:457.几何作图问题古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用圆规和直尺能做出哪些图形？而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上做记号。为什么会提出这样的问题呢？一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。2020/2/1704:45历史上（困扰人们很久）的著名问题：⑴二倍立方体问题：作一个立方体使其体积为一已知立方体体积的两倍。⑵三等分任意角问题：给定一个任意角，将其三等分。⑶圆化方问题：给定一个圆（已知半径为r），作一个正方形使其面积等于已知圆的面积。⑷n等分一个圆周。这些问题直到近世代数理论出现后才得到完全的解决。2020/2/1704:458.代数方程根式求解问题我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题：五次以上代数方程没有根式解。2020/2/1704:45伽罗华（ÉvaristeGalois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（SolutionbyRadicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他第三次送交科学院的论文被泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年。2020/2/1704:45伽利略死后，直到19世纪末期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。2020/2/1704:45学习内容第一章基本概念第二章群论第三章环与域第四章整环里的因子分解