第四章 晶体衍射中的数学处理

第四章晶体衍射中的数学处理4.1取向关系的转换矩阵4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测4.1.2晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵4.1.3晶体间的重位点阵4.1.4孪晶关系的转换矩阵4.2取向关系的理论预测4.2.1原理和判据4.2.2HCP/BCC体系4.2.3HCP/FCC体系4.3晶体对称性引起的系统消光4.3.1对称元素及其对应操作的矩阵4.3.2宏观对称元素的组合规律4.3.3点群的推导和转换矩阵4.3.4点群、晶系和布拉菲点阵之间的关系4.3.5空间群中的平移对称元素4.3.6等效点系4.3.7二维点阵、平面点群和平面群4.3.8电子衍射花样的对称性4.3.9系统消光4.3.10晶体对称性在结构分析中的应用举例第四章晶体衍射中的数学处理第四章晶体衍射中的数学处理本章要点1.电子衍射花样的研究中，最经常涉及取向关系的转换矩阵，它包括两相取向关系、同一晶体的晶面和晶向在不同坐标中的表述、晶体间的重位点阵关系以及孪晶取向关系；2.两相取向关系的理论预测有多种方法，本书介绍最近发展起来的边-边匹配方法，该方法物理概念简单，处理方便；3.晶体的宏观对称性和微观对称性将会引起系统消光，这对于电子衍射花样的分析是极其重要的，因此掌握系统消光规律对于研究晶体结构是必需的。4.1取向关系的转换矩阵•4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测一、两相正空间和倒空间基矢关系的转换设基体的正空间坐标基矢为，记作，相应的倒空间基矢为，记作。第二相的正空间坐标基矢为，记作，相应的倒空间基矢为，记作。基体和第二相正空间坐标矢量以矩阵S相关联，即(4.1)***,,321aaa*ia''',,321aaa'ia'*'*'*,,321aaa'*ia][][iiaSa'][][1'iiaSa321aaa,,ia4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测基体和第二相在倒空间坐标矢量以矩阵B相关联，即(4.2)可以证明：S和BT互为逆矩阵，即S-1=BT,[BT]-1=SB-1=ST,[ST]-1=B(4.3)][][*'*iiaBa][][1'**iiaBa证明如下：设基体（M）和第二相（S）取向关系表达式为(4.4)式中i=1,2,3。下面将找出可描述上述取向关系的转换矩阵。两相的hkl晶面法线方向分别为两相的倒易矢量和的方向，分别各向除以它们的模，则成为单位长度矢量，故两者矢量平行就变为不仅平行而且相等，则得(4.5)将移项后，再对（4.5）式改写成矩阵表达：MiiiS'i'i'ilkhlkh)//()(hklg'hklg***'*'*aaaaaa321'*32111iiii'i'i'i'ilkhglkhg'ig4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测(4.6)上式可简写为(4.7)所以(4.8)和（4.2）式比较，得到转换规律：B=[h’]-1[D][h](4.9)'*'*'*'3'3'3'2'2'2'1'1'1lkhlkhlkh321aaa***333222111'33'22'11lkhlkhlkh/dd/dd/dd321aaa]][][[]][[*ahD'*ah'ii]][][[][][1*ahDh''*aii4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测•二、两相平行晶面和平行晶向指数的转换矩阵1.两相平行晶面的转换矩阵设两相正空间基矢[]和[]存在以下关系：(4.10)用矩阵表示：(4.11)'iaia3132121111aaaasss'3232221212aaaasss'3332321313aaaasss'321333231232221131211321aaaaaasssssssss'''4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测简写为(4.12)而由（4.2）式可知：(4.13)上式两边转置，将（4.11）式左乘上式，即][][iiaSa'***'*'*'*321321aaaBaaaT321321321321BaaaaaaSaaaaaa***'*'*'*'''4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测根据倒易基矢的性质：当，；当，即所以SBT=I，即B=[S-1]T，S=[BT]-1(4.14)这证明（4.3）式中S和B之间的关系。ji1jiaa*ji0jiaa*T100010001100010001BS4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测设两相对应指数的倒易矢量相等，则有gh’k’l’=ghkl，上式中倒空间基矢为a1,a2,a3，基体的晶面指数为hkl，第二相晶面指数为h’k’l’，故将上式分别乘（4.10）式中的三式，得(4.15)上式简写为：[h’]=S[h](4.16)式中的S矩阵就是两相晶面平行的转换矩阵。***'*'*'*lkhl'k'h'321321aaaaaalkhssssssssslkh333231232221131211'''4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测2.两相中平行晶向指数的转换矩阵设两相的某晶向矢量相等，即：γu’v’w’和γuvw，式中u’v’w’和uvw分别为第二相和基体的晶向指数，它们的基矢为a1’a2’a3’和a1a2a3，故将（4.12）式转置并代入上式得wvuaaawvuaaa321321][''''''wvuaaawvuSaaa321T321'''4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测由此可得：，(4.17)或，(4.18)w'v'u'wvuTSwvuw'v'u'1T][S][][Tu'uS][][][1Tuu'S4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测归纳上述的结果：(4.19)(4.20)(4.21)由此表明（4.20）式中晶面指数的变换与（4.19）式中基矢的变换完全相同，而（4.21）式中晶向指数的变换矩阵则为基矢转换矩阵的转置逆阵。][][iiaSa'][][hhS'][][][1Tuu'S4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测又根据，而B为倒易基矢的转换矩阵，得(4.22)(4.23)(4.24)由上可知：（4.24）式中倒易平面指数的变换与（4.22）式中倒易基矢的变换完全相同，而（4.23）式中倒易矢量指数的转换矩阵为倒易基矢转换矩阵的转置逆阵。1T][BS][]'[*1*1aa]['1Τhhu'uB4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测•三、正、倒点阵的指数转换在立方晶体中（hkl）晶面的法线方向的指数就是与晶面同指数的晶向[hkl],但在非立方晶体中就不满足上述关系。为了求非立方晶体中晶面所对应的法向的晶向指数，就需要知道正、倒点阵的指数转换。设正空间晶向为[uvw]，与它平行并相等的倒易矢量指数是[hkl]，即为(hkl)晶面法向，可得(4.25)lkhwvu***cbacba4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测对（4.25）式两边左乘[abc]T，则根据图4.1中基矢间夹角的定义，式中wvuwvulkhGcccbcabcbbbaacabaa222cbcacbcbabacabacccbcabcbbbaacabaaGcoscoscoscoscoscos图4.1坐标中基矢间夹角的定义4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测对（4.25）式两边左乘，则式中：T*c*b*alkhwvu1G******************ccbcaccbbbabcabaaaG14.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测常用晶系的坐标变换矩阵GG-1正交(4.26)四方(4.27)222000000cba222/1000/1000/1cba222000000caa222/1000/1000/1caa4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测常用晶系的坐标变换矩阵GG-1立方(4.28)六方(4.29)222000000aaa222/1000/1000/1aaa22222000202caaaa22222/1000343203234caaaa4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测•四、取向关系转换矩阵的应用举例Inconel718合金基体γ相是面心立方结构。从基体中析出的γ’相是有序面心立方结构，γ’’相是体心四方结构，而δ相是正交结构。它们的点阵常数和结构如表4.1所示。相结构点阵常数/nmabcγ(基体)A10.3616γ’L120.3605γ’’DO220.36240.7406δDOa0.51540.42310.4534表4.1点阵常数与结构4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测3种析出相与基体的晶体学取向关系如下:γ’-γ{100}γ’∥{100}γ；100γ’∥100γγ’’-γ{100}γ’’∥{100}γ；[001]γ’’∥100γ(4.30)δ-γ(010)δ∥{111}γ；[100]δ∥110γ由于δ、γ’’相与γ’相不同,它们不具有基体高对称性的面心立方结构,导致在上述取向关系下的多种变体出现.γ’’相有3种变体,其定义为:γ’’相的c轴平行基体相的a轴称为A变体;平行b轴为B变体；平行c轴为C变体。δ相由于对称性低于γ’’相,因而有12种变体,详见书中列出。4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测一幅具有析出相与基体取向关系的复合电子衍射花样,可以通过两相一对平行晶面及面上一对平行晶向来预先画出.一对平行晶向即为两相各自衍射花样的晶带轴方向,一对平行晶面即对应于该晶带花样中一对平行的衍射斑点。如果设(H1K1L1)∥(h1k1l1),(H2K2L2)∥(h2k2l2),(H3K3L3)∥(h3k3l3),(HiKiLi)和(hikili)(i=1,2,3)分别表示γ″和γ的三组晶面,则γ″相中[UVW]方向和γ相中[uvw]方向具有平行关系的矩阵R(d)可通过两者取向关系式导出:4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测[UVW]T=R(d)[uvw]T式中：(4.33)如果设R(p)为(HKL)和(hkl)晶面平行的转换矩阵,则有3332221113322111333222111/000/000/)(lkhlkhlkhDdDdDdLKHLKHLKHdRlkhpLKH)(R4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测为了简化计算，设两相的点阵常数有以下关系：a(γ″)=a(γ)=0.3616nm，c(γ″)=2a(γ),由(4.31)、(4.33)和(4.34)式可得γ″析出相3种变体的R(d)和R(p)具体表达式；同理,对于δ相12种变体的转换矩阵,输入δ相的点阵常数和3组与基体平行的晶面,由上述参数,可获得δ相12种变体的转换矩阵。4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测表4.2在几