2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-2 等差数列课件 (文) 全国.重庆专版

第二节等差数列•1．等差数列的相关问题•(1)等差数列的定义•一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的．同一个常数公差2•(2)等差中项•在一个等差数列中，从第2项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝•(n∈N且n≥2)．an－1＋an＋1•三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？•【提示】设为a－d，a，a＋d，a＋2d或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.•(3)等差数列的单调性•当d＞0时，{an}是数列．•当d＝0时，{an}是．•当d＜0时，{an}是数列．递增常数列递减•2．等差数列的通项公式及其前n项和Sn•(1)等差数列的前n项和Sn是用求得的．注意这种思想方法在数列求和中的应用．•(2)等差数列的通项公式an＝及前n项和公式Sn＝＝，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其三就能求另二．倒序相加法a1＋(n－1)d(1)因为Snn＝d2n＋a1－d2，故数列Snn是等差数列．(2)从函数观点看Sn，当d≠0时，Sn是关于n的且常数项为0的二次函数，则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值．(3)在求等差数列的前n项和时，若已知首项a1及末项an，可选用公式Sn＝n(a1＋an)2；若已知首项a1及公差d，可选用公式Sn＝na1＋n(n－1)d2.•等差数列的常用性质•已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．•(1)通项公式的推广：•an＝am＋(n－m)d(n、m∈N)．•(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，•特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.•(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.•(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．•(5)S2n－1＝(2n－1)an.•(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．•1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于•()•A．1•C．2D．3•【解析】设{an}首项为a1，公差为d，•则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝6，a3＝a1＋2d＝4，∴a1＝0，d＝2.•【答案】C2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12C.12D．2•【解析】根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，•∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.•【答案】B3．已知数列{an}中，a1＝1，1an＋1＝1an＋13，则a10等于()A.15B.14C.16D.以上都不对【解析】由a1＝1，1an＋1＝1an＋13得1an为等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)·13＝13n＋23，∴1a10＝103＋23＝4，∴a10＝14.【答案】B•4．设等差数列{am}的前n项和为Sm，若a5＝5a3，则•＝______.•【解析】设等差数列的公差为d，首项为a1，•【答案】9•5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.【答案】2n•在等差数列{an}中，•(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；•(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；•【思考点拨】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.【解析】(1)解法1：设首项为a1，公差为d，依条件得33＝a1＋14d153＝a1＋44d，解方程组得a1＝－23，d＝4.∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.解法2：由d＝an－amn－m，得d＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an＝am＋(n－m)d，得a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217.(2)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝105a1＋10d＝5.解方程组得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8×(a1＋a8)2＝44.两个数列{an}和{bn}满足bn＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n.求证：(1)若{bn}为等差数列，则数列{an}也是等差数列；(2)(1)的逆命题也成立．【证明】(1)由已知得：a1＋2a2＋…＋nan＝12n(n＋1)bn，①a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1＝12(n＋1)(n＋2)bn＋1.②②－①得∴an＋1＝12(n＋2)bn＋1－12nbn＝12n(bn＋1－bn)＋bn＋1.∴an＋1－an＝32(bn＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列．(2)逆命题：两个数列{an}和{bn}满足bn＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n.若{an}为等差数列，则{bn}也为等差数列．证明：由已知得到an＝12(n＋1)bn－12(n－1)bn－1，an＋1＝12(n＋2)bn＋1－12nbn.∴an＋1－an＝32(bn＋1－bn)为常数，∴bn＋1－bn＝23(an＋1－an)为常数．∴数列{bn}也为等差数列．•(1)证明等差数列的方法有定义法、通项公式法、等差中项法、前n项和法(前n项和公式的形式是不含常数项的二次函数)，但最规范的方法为定义法．我们在证明等差数列时，一般就用定义法．•(2)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．•1．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．•(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？•(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．•【解析】(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.•故当p＝0时，数列{an}是等差数列．•(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，•∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，•而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．•∴{an＋1－an}是等差数列．••在等差数列{an}中，•(1)若a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；•(2)若a1＜0，S9＝S12，则该数列前多少项的和最小？•【解析】(1)由a1＝20，S10＝S15，•解得公差d＝－.•∵S10＝S15，•∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.•∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.•∵公差d＜0，a1＞0，•∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．•∴当n＝12或n＝13时，•Sn有最大值为S12＝S13＝130.(2)设数列{an}的公差为d，则由题意得9a1＋12×9×(9－1)d＝12a1＋12×12×(12－1)d，即3a1＝－30d，∴a1＝－10d.∵a1＜0，∴d＞0.∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2n－2122－441d8.∴Sn有最小值，又n∈N，∴n＝10，或n＝11时，Sn取最小值．•等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d＞0，a1＜0，Sn有最小值，需an≤0，an＋1≥0；若a1＞0，d＜0，Sn有最大值，需an≥0，an＋1≤0，n取正整数．•2．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.•(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；•(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．•【解析】(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，•又a11＝a1＋10d＝0，•故解得d＝－2，a1＝20.•因此，{an}的通项公式是an＝22－2n，(2)由S14≤77，a11＞0，a1≥6，得2a1＋13d≤11，a1＋10d＞0，a1≥6.即2a1＋13d≤11，①－2a1－20d＜0，②－2a1≤－12.③由①＋②得－7d＜11，即d＞－117.由①＋③得13d≤－1，即d≤－113.于是－117＜d≤－113.•又d∈Z，故d＝－1.④•将④代入①②得10＜a1≤12.•又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.•所以，所有可能的数列{an}的通项公式是•an＝12－n和an＝13－n.•本节主要以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列的性质，在计算中，常有一些方程思想，题型各种形式都有出现，其难度为中、低档题．•1．(2009年安徽卷)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是•()•A．21B．20•C．19D．18•【解析】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，•∴99－105＝3d.∴d＝－2.•又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.•＝－(n－20)2＋400.•∴当n＝20时，Sn有最大值．•【答案】B•2．(2009年全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝______.•【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，•则a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d＝3(a1＋4d)，•又S9＝72，∴S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝72，•∴a1＋4d＝8，∴a2＋a4＋a9＝24.•【答案】24