结构力学 第4章静定结构的位移计算

结构力学4.1概述4.2虚功和虚功原理4.3荷载作用下位移的计算4.4图乘法4.5温度变化引起的位移计算4.6支座移动所引起的位移计算4.7线性变形体系的互等定理结构力学4.1概述本章讨论两个主要内容：一个是虚功原理，此处只涉及变形体虚功原理；另一个是按虚功原理推导出计算位移的公式及荷载作用、温度变化以及支座移动引起的位移的计算。计算结构位移的主要目的有如下3个方面1.验证结构的刚度2.结构在制作和施工架设中的位移计算3.为分析超静定结构创造条件计算位移时荷载的结构必须具备如下条件：(1)材料的受力在弹性范围内，应力与应变成正比。(2)结构变形微小，不影响力的作用。结构力学W=P△式中，W—功；P—做功的力；△—沿力作用线方向的位移。在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向相应位移的乘积，表达式为4.2虚功和虚功原理1.功广义力广义位移对于其他形式力或力系所做的功，可用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子称为广义力，而另一个与位移相应的因子称为广义位移。这样，功可以表示为广义力与广义位移的乘积。常用的是牛顿米(N•m)或千牛顿米(kN•m)。当力与位移方向一致时，功为正值，相反时为负值。结构力学W12=P1△12内力所引起的相应变形上做功，称为内力虚功，用U12表示。力在其他因素引起的位移上所做的功，称为虚功。2.虚功及虚功原理外力在其他因素(其他力系、温度变化、支座移动或制造误差等)引起的位移上所做的功，称为外力虚功。表示为变形虚功原理表明：结构的第一组外力，在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功。即外力虚功W12=内力虚功U12结构力学利用虚功原理求解这个问题，需要在K点沿所求位移方向加上一个单位集中力PK=1，如图4.1(b)所示如图4.1(a)所示结构在荷载q作用下，发生了如图中虚线所示的变形。现在来求结构上任一截面沿任一指定方向上的广义位移，如K截面的水平位移△k。图4.14.3荷载作用下位移的计算结构力学计算内力虚功，在图4.1(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的内力MP、QP、NP作用所引起的相应变形为dθ、dη、dλ，如图4.2(a)、(b)、(c)所示其外力虚功为上式说明，当PK=1时外力虚功在数值上恰好等于所要求的位移△k。图4.2结构力学上式就是用虚功原理求得的荷载作用下结构的位移计算公式。荷载作用所引起的结构上K点的水平位移对于梁和刚架，位移计算公式可简化为对于桁架结构位移计算公式可简化为对于组合结构位移计算公式可简化为结构力学用单位荷载法计算结构位移的步骤如下：在拟求位移的位置沿所求位移的方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。列出实际荷载作用下各杆段内力方程。将各内力方程代入公式计算位移。结构力学如图4.3所示为一等截面直杆段上的两个弯矩图，其中图为直线图形，Mp图为任意形状图形。对整个Mp图形的面积对y轴的截面一次矩积分得4.4图乘法上述积分运算等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应另一个直线弯矩图上的纵距yc，再除以EI。这就是所谓图形互乘法，简称为图乘法。图4.3图乘公式结构力学在使用图乘法时必须注意以下几点：如果结构的各段均可图乘，则位移公式可写为(1)必须符合下面的3个条件:①杆段的弯曲刚度EI为常数；②杆段的轴线为直线；③和Mp两个弯矩图中至少有一个为直线图形。(2)纵坐标yc只能由直线弯矩图中取值。(3)图乘法的正负号规定是：面积ω和纵坐标yc若在杆件的同一侧，其乘积取正号，否则取负号。结构力学(1)若yc所属图形不是一段直线而是折线形时或者各杆段的截面特性不相等时，则均应分段图乘，然后进行叠加。图乘法在应用中遇到的计算问题说明如下：(2)如果两个图形都是在同一边的梯形，不必求出梯形的形心位置或面积，而是将MP图的梯形分解为两个三角形(或一个矩形和一个三角形)，分别与另一个梯形对应相乘后再进行叠加。(3)如遇到均布荷载q作用下其杆段较复杂的MP图，可根据弯矩图叠加原理将其分解为一个梯形和一个标准二次抛物线图形的叠加。(4)若遇到均布荷载作用下某杆段较复杂的图，可根据弯矩图叠加原理将其分解为一个梯形和一个标准抛物线图形的叠加。为了计算方便，观察常用的几种图形的面积和形心列入下页图4.4中，以备查用。在各抛物线图形中，“顶点”是指其切线平行于底边的点，而顶点在中间或端点的图形为标准图形，即在顶点处斜率等于零，这也表示该顶点处的截面剪力等于零。结构力学图4.4常用的几种图形的面积和形心结构力学温度变化时，静定结构虽然不产生内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而使结构产生变形和位移。温度变化引起结构位移的计算公式：式中，积分号包括杆件全长；和分别表示每一杆件图和图的面积；总和号包括梁、刚架、桁架的各杆。4.5温度变化引起的位移计算对于梁和刚架，在计算温度变化所引起的位移时，一般不能略去轴向变形的影响。结构力学对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式可简化为桁架因制造误差所引起的位移计算与温度变化时的计算相似。设桁架中某些杆件长度有制造误差△l，则其位移计算公式为结构力学刚体体系的虚功原理4.6支座移动所引起的位移计算外力虚功W12＝0表示外力在实际状态位移上作的虚功(外力虚功)等于零。通过虚功原理推导出静定结构由于支座移动所引起的位移计算公式:式中，—实际的支座移动；—虚设力状态P=1时的支座反力。的乘积正负号规定：两者方向一致乘积为正，反之为负。由支座移动引起的位移计算步骤如下。(1)在拟求位移的点沿拟求位移的方向加一单位荷载，形成虚设力状态。(2)对虚设力状态求相应支座移动的支座反力。(3)代入公式计算位移。结构力学图4.54.7线性变形体系的互等定理1.功的互等定理上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。这就是功的互等定理。结构力学如图4.6(a)、(b)所示，两个状态下的荷载相等且均等于单位荷载，即P1=P2=1，则2.位移互等定理图4.6这就是位移互等定理。它表明：第一个单位力在第二个单位力的作用点沿其方向上所引起的位移，等于第二个单位力在第一个单位力的作用点沿其方向上所引起的位移。这里，单位力P1和P2均指广义力，相应的б12和б21则是广义位移。结构力学如图4.7第一状态在支座1和2引起的支座反力位移及另一状态的在支座1和2引起的支座反力位移，由功的互等定理式图4.73.反力互等定理这就是反力互等定理：在任一线性变形体系中，由单位支座位移所引起的与支座1相应的支座反力，在数值上等于由单位支座位移所引起的与支座2相应的支座反力。