结构力学 第5章 影响线

一、移动荷载的概念按荷载的作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。固定荷载：荷载的作用位置固定不变的荷载。移动荷载：大小相对确定但作用位置随时间不断变化的荷载。如桥梁上的汽车、火车、厂房吊车等。第5章影响线§5.1移动荷载和影响线的概念二者的区别：（1）固定荷载作用下，结构内力与位移是确定的，截面内力是定值；（2）在移动荷载作用下，结构内力随荷载位置的变化而变化。1.影响线的绘制结构上某截面的内力或支座反力随移动荷载位置变化而变化的规律。2.影响线的应用确定移动荷载的最不利位置，并求出支座反力或内力的最大值，作为结构设计的依据。2.绘制方法：静力法和机动法二、本章讨论的主要问题三、影响线的概念1P1.概念：在单位移动荷载作用下，结构某量值Z的变化规律用函数图象表示，称为该量值的影响线。§5.2静力法作简支梁的影响线一、静力法作影响线的原理和步骤1.选择坐标系，定坐标原点，并用变量x表示单位移动荷载的作用位置；2.列出某截面内力或支座反力关于x的静力平衡方程，并注明变量x的取值范围；3.根据影响线方程绘出影响线。注意：（1）内力或支座反力的正负号规定：弯矩和剪力同前，竖向支座反力以向上为正；（2）量值的正值画在杆轴上侧，负值画在杆轴下侧。如图(a)所示的简支梁，在单位移动荷载作用下，求做各量值的影响线。二、静力法作简支梁的影响线lxPlxRB(0≤x≤l)（1）RB影响线：取A点为坐标原点，以P=1的作用点与A点的距离为变化量x，取值范围为0≤x≤l。设反力以向上为正。利用平衡条件∑MA=0当x=0时，RB=0;当x=l时，RB=1。RB的影响线如图(b)所示。RA影响线：仍取A点为坐标原点，以P=1的作用点与A点的距离为变化量x，取值范围为0≤x≤l。设反力以向上为正。利用平衡条件∑MB=0，lxlRA(0≤x≤l)当x=0时，RA=1;当x=l时，RA=0。RA的影响线如图(c)所示。(2)下面求简支梁所指定截面C的弯矩MC的影响线。其绘制方法是：在左、右两支座处分别取竖标a、b，如图(d)，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直线相连，则这两条直线的交点与左右零点相连的部分就是MC的影响线。(3)剪力影响线当P=1在截面C以左部分AC段上移动时，取BC段为隔离体，由∑Y=0，有QC=-RB(0≤x＜a)当P=1在截面C以右部分BC段上移动时，取AC段为隔离体，由∑Y=0，有QC=RA(a＜x≤l)据此可作出QC影响线如图(e)所示设外伸梁如图(a)所示，求作反力RA、RB以及截面C和D的弯矩、(1)反力影响线取支座A为坐标原点，以P=1作用点到A点的距离为变量x，且取x以向右为正。利用简支梁平衡条件分别求得RA和RB二、静力法作外伸梁的影响线lxlRA(-l1≤x≤l+l2)lxRB(-l1≤x≤l+l2)据此，可作出反力RA和RB的影响线如图(b)、(c)所示。(2)简支部分任意截面C当P=1位于截面C以左时，求得MC和QC的影响线方程为MC=RB·b(-l1≤x≤a)QC=-RB(-l1≤x＜a)当P=1位于截面CMC=RA·a(a≤x≤l+l2)QC=RA(a＜x≤l+l2)据此，可作出MC和QC的影响线如图(d)、(e)所示。(3)外伸部分任意截面D当P=1位于DMD=-xQD=-1当P=1位于DMD=0QD=0据此，可作出MD和QD的影响线如图(f)、(g)所示。学习影响线时，应特别注意不要把影响线和一个集中荷载作用下简图(a)、(b)分别是简支梁AB的弯矩影响线和弯矩图，这两个图形的形状虽然相似，但其概念却完全不同。现列表1把两个图形的主要区别加以比较，以便更好地掌握影响线的概念。表1弯矩影响线弯矩图承受的荷载数值为1的单位移动荷载，且无量纲作用位置固定不变的实际荷载，有单位横坐标x表示单位移动荷载的作用位置表示所求弯矩的截面位置竖标y代表P=1作用在此点时，在指定截面处所产生的弯矩；正值应画在基线上侧；其量纲是［长度］代表实际荷载作用在固定位置时，在此截面所产生的弯矩；弯矩画在杆件的受拉侧不标正负号；其量纲是［力］·［长度］D§5.3结点荷载作用下的影响线通过纵梁或横梁间接作用于主梁上的荷载称结点荷载。一、结点荷载的概念横梁纵梁主梁ABCEFRARBl=4d二、结点荷载作用下梁的影响线d85d43d1615d/2d/2DP=12.MD影响线P=1P=1xP=1P=1dxddxdxxddxddxddMD0854385MD＋QCE1/21/4＋－CM43d1.支座反力影响线：与简支梁在直接荷载作用下相同3.QCE影响线：CE之间任意截面剪力相同4.MC影响线：结点截面弯矩与直接荷载作用下相同结点荷载下影响线作法：1）以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。2）以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。结点荷载下影响线特点：1）在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。2）相邻结点之间影响线为一直线。任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。§5.3静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGh一、桁架的反力影响线l=6dADCEFGadcefgbP=1P=1xADCEFGB单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同，故二者的支座反力影响线也完全一样。RARBB3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。l=6dADCEFGadcefgbRARB二、桁架杆件内力影响线1.上弦杆轴力Nde的影响线P=1P=1xADCEFGBIINde1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。hMRhdNhNdRMEBdedeBE030302）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。hMRhdNhNdRMEAdedeAE03030h4d/(3h)3d/h3d/h-Nde影响线2.下弦杆轴力NDE的影响线l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBIINDE1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。hMRhdNhNdRMDBDEDEBd040402）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。hMRhdNhNdRMdADEDEAd020203）当P=1在被截的节间DE内移动时，NDE影响线在此段应为一直线。h＋4d/3hNDE影响线3.斜杆dE轴力的竖向分力YdE的影响线3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBII1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。00DEBdEQRYy2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。00DEAbCQRYyhNdE1/311YdE影响线2/3＋－4.竖杆轴力NcC的影响线l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBIIIINcC1）当P=1在结点C以左移动时，取截面II-II以右部分为隔离体。00CDBcCQRNy2）当P=1在结点D以右移动时，取截面II-II以左部分为隔离体。00CDAcCQRNyh3）当P=1在被截的节间CD内移动时，NcC影响线在此段应为一直线。2/311NcC影响线1/6＋－5.竖杆轴力NeE的影响线1）当P=1沿下弦移动，0eENNeE影响线下承上承－1P=1P=1P=1P=1l=6dADCEFGadcefgbRARB2）当P=1在结点e时，NeE=13)当P=1在其它结点时，NeE=0NeE影响线任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。单跨梁式平行弦桁架①弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。②斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是±梁的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。③静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。§5.5机动法绘作静定梁的影响线一、机动法做影响线的基本原理1.撤掉与所求量值相对应的约束（支座或与截面内力对应的约束），用正方向的量值来代替；2.沿所求量值正方向虚设单位位移，并画出整个梁的刚体位移图；3.应用刚体体系的虚功原理建立虚功方程，导出所求量值与位移图之间的关系，即为影响线。刚体体系的虚功原理：虚位移原理（虚设单位位移法）二、作图步骤二、机动法绘制静定梁影响线（1）反力影响线P=1xlABABRB1dRB影响线＋011dBR证明：根据W外=0此式表明δ的值恰好就是单位力在x时B点的反力值，刚好与影响线定义相同。（注意：δ是x的函数）BRd（2）弯矩影响线MC影响线＋ABabMCCCCMMMbaddba01证明：根据W外=0dCMdba时当1影响线顶点坐标y的求法：labbaabyyabbabyaybyay1baba微小转角yP=1xlABabCa+b=1（3）剪力影响线QC影响线＋ABdP=1xlABabCQCQC1y1y2CCCCQyyyyQyQyQ右左ddd01012121CQyyd时＝当121y1、y2的求法：lbylaylbayybyay2121211例1.用机动法作图示多跨静定梁的影响线。3m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGMB影响线ABECDMB11m2mAFBECDQFQFQF影响线1/21/21/31/63m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGRB影响线ABECDRB14/32/3QC影响线ABECDQCQC11/2MG影响线ABECDGMG1m1m3m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGQB左影响线QB右影响线QG影响线BAECD1/31/61BAECD11/2BAECD1/21/21/2§5.6影响线的应用一、利用影响线求在固定荷载作用下的影响量1.集中荷载作用下的影响量b/la/l＋－QC影响线y1y2y3P1P2P3ablCQC=P1y1+P2y2+P3y3一般说来：Z=∑Piyi2.均布荷载作用下的影响量b/la/l＋－QC影响线yqablCABxdxqdxydxqBAyqdxQBACAdqBA=qA一般说来：Z=qA3.集中荷载和均布荷载共同作用下的影响量Z=∑Piyi+∑qiAi注意：（1）yi为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标，在基线以上yi取正，Pi向下为正；（2）Ai为均布荷载qi分布范围内Z影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正。3/52/5＋－QC影响线例1.试利用影响线求QC的数值。10kN/m4m6mCAB解：kN10524215362110qAQCCMCQF例2．试利用影响线计算图(a)所示梁在图示荷载作用下的截面C的弯矩和剪力。解：(1)作MC、QC影响线分别如图(b)、(c)所示。(2)计算MC、QCmkNqPyMC802122124212016021kNFCQ205.0421225.05.0212025.060二、利用影响线确定荷载最不利位置1.任意长均布活载的最不利分布判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。如果荷载移动到某个位置，使某量值达到最大值，则此位置称为该量值的荷载最不利位置。－＋＋Z影响线Z的最小值Z的最大值qqq＋－3/52/5QC影响线例3.图示简支梁承受均布荷载q=10kN/m的作用，荷载在梁上可任意布置，QC的最