概率论与数理统计离散型随机变量及其分布律

一、离散型随机变量的分布律所有可能取的值为设离散型随机变量X,),2,1(kxk,取各个可能值的概率X}{kxX即事件的概率,为)(kxXPkp.,2,1k由概率的定义,:满足如下两个条件kp;,2,1,01kpk.121kkp.的分布律称此为离散型随机变量X说明：分布律也可以用表格的形式来表示:Xkpnxxx21nppp21取各个值的概变量表格直观地表示了随机X率的规律.,取各个值各占一些概率X这些概率合起来是1.可以想象成:概率1以一定的规律分布在各个可能值上.例1设一汽车在开往目的地的道路上需经过4组信号灯,通的概率允许或禁止汽车每组信号灯以21,表示汽车首次停下时以X它已通过的信号灯组数，.分布律求X解.车通过的概率表示每组信号灯禁止汽以p的分布律为易知X.过假设各组信号灯的工作是相互独立的,kpX43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p或写成}{kXP,)1(ppk,3,2,1,0k}4{XP.)1(4p代入得以21pXkp432105.025.0125.00625.00625.0二、常见离散型随机变量的概率分布(一)(0―1)分布,10两个值与只可能取设随机变量X其分布是}{kXP,)1(1kkpp1,0k,)10(p.)10(分布或两点分布为参数的服从以则称pX(0―1)分布的分布律也可写成Xkp0p11p实例“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.)(eXX,1,0,正面当e.反面当e随机变量X服从(0―1)分布.Xkp012121其分布律为对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,,},{21eeS即上定义一个我们总能在S服从(0―1)分布的随机变量X)(eX,,01ee当.,12ee当来描述这个随机试验的结果.两点分布随机数演示(二)伯努利试验、二项分布:只有两个可能结果设试验E,AA及为则称E伯努利(Bernoulli)实验.,)10()(ppAp设此.1)(pAP时,次独立重复进行将nE则称这一.重伯努利试验串重复独立的试验为n它有广泛的应用,是研究最多的模型之一.伯努利资料n重伯努利试验是一种非常重要的数学模型，实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.二项概率公式,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX所有可能取的值为则X.,,2,1,0n,)0(时当nkkX.次次试验中发生在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA次的方式共有次试验中发生在得knA,种kn且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX1110称这样的分布为二项分布.记为.),(~pnbX次的概率为次试验中发生在因此knAknkppkn)1(pq1记knkqpkn的分布律为得X二项分布1n两点分布二项分布的图形二项分布随机数演示例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp012345二项分布随机数演示例2按规定,某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一等品.已知某一大批产品的一级品率为0.2,现在从中随机抽查20只.问20只元件中恰？为一级品的概率是多少只有)20,,2,1,0(kk解因而此抽样可近似当作放回抽样来处理,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,这样做有一些误差,但误差不大.我们把检查一只会元件看它是否为一等品看成是一次试验,检查20只元件相当于做20重伯努利试验.只元件中一级记以20X品的只数,那么,,是一个随机变量X且有).2.0,20(~bX所求概率为}{kXP,)8.0()2.0(2020kkk.20,,1,0k将计算结果列表如下:012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP图示概率分布例3某人进行射击,假设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为,X.)02.0,400(~bX则的分布律为X}{kXP,)98.0()02.0(400400kkk.400,,1,0k于是所求概率为}2{XP}1{XP}0{1XP399)98.0)(02.0(400400)98.0(1.9972.0结果的实际意义：1.决不能轻视小概率事件.2.由实际推断原理,我们怀疑“每次射击命中率为0.02”这一假设,认为该射手射击的命中率不到0.02例4设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法,台中人维护的第记以201“X同一时刻发生故障的台数”，表示以)4,3,2,1(iAi,”20“维修台中发生故障不能及时人维护第事件i则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为)(4321AAAAP)(1AP.}2{XP,)01.0,20(~bX而故有}2{XP10}{1kkXPkkkk2010)99.0()01.0(201.0169.0按第二种方法,台中同一时刻发生故记以80Y障的台数,此时,,)01.0,80(~bY故80台中发生故障而不能及时维修的概率为}4{YP3080)99.0()01.0(801kkkk.0087.0我们发现,在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台),但工作效率不仅没有降低,反而提高了.(三)泊松分布,,2,1,0所有可能取的值为设随机变量X而取各个值的概率为}{kXP,!ekk,,2,1,0k，是常数其中0,的泊松分布服从参数为则称X.)(~X记为泊松资料泊松分布的图形泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒),发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水上面我们提到二项分布)(nnp泊松分布泊松定理,0是一个常数设是任意正整n数,,nnp设,k整数则对于任一固定的非负有knnknnppkn)1(lim.!ekk证,npn由有knnknppkn)1(knknnkknnn)1(!)1()1(knnknppkn)1(knknnkknnn)1(!)1()1(.1111111!knknnnknk,k对于固定的时当nnkn11111,1nn1,ekn1.1故有knnknnppkn)1(lim.!ekknnpnnp很大时意味着当常数定理的条件)(必定很小,因此,,很大上述定理表明当n(很小p时有以下近似式)np.)(np其中率值可以为参数的二项分布的概也就是说以pn,.似的泊松分布的概率值近由参数为np上式也能用来作二项分布概率的近似计算.!)1(keppknkknk例5计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯次品率达0.1%,各芯片成为次品相互独立.在1000只产品中至少有2只次品的概率.记产以X品中的次品数,).001.0,1000(~bX解所求概率为}2{XP}1{}0{1XPXP)001.0()999.0(11000)999.0(199910003680635.03676954.012642411.0片,求利用近似计算得：001.01000,1}2{XP}1{}0{1XPXP11ee12642411.0显然利用近似计算来得方便.一般,,20n当.)1(!的近似值颇佳作为用knkkppknke时采用近似计算：05.0p离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n三、小结1..),(,,)10(),,2,1(.,0,1,,,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为服从二项分布那么分布并且相互独立它们都服从次试验失败若第次试验成功，若第设每次试验成功的概率为立重复伯努利试验次独对于分布的推广二项分布是.)10(.2关系分布、泊松分布之间的二项分布与.),,2,1,0(,e!)()1(}{,,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk即为参数的泊松分布于以时趋当为参数的二项分布以