湖南师大附中高考数学二轮复习专项 (6)

湖南师大附中高考数学二轮复习专项——立体几何(含详解)1.如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝2∶1，F是AB的中点．（1）求VC与平面ABCD所成的角；（2）求二面角V-FC-B的度数；（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．2.如图正方体ABCD-1111DCBA中，E、F、G分别是BB1、AB、BC的中点．（1）证明：FD1⊥EG；（2）证明：FD1⊥平面AEG；（3）求AEcos，BD1．3.在直角梯形P1DCB中，P1D//CB，CD//P1D且P1D=6，BC=3，DC=6，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．（1）求证：AF//平面PEC；（2）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；（3）求点D到平面PEC的距离．BCDAP1DBCFEAP4.如图四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，4PA正方形的边长为2（1）求点A到平面PCD的距离；（2）求直线PA与平面PCD所成角的大小；（3）求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值。5.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为1的菱形。侧面PAD是正三角形，其所在侧面垂直底面ABCD，G是AD中点。（1）求异面直线BG与PC所成的角；（2）求点G到面PBC的距离；（3）若E是BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并说明理由。6.如图，正三棱柱中点是中，ACECBAABC111.(1)求证：平面111AACCBEC平面；(2)求证：11//BECAB平面；(3)若的大小，求二面角CBCEABAA1122.7.如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD底面ABCD，3SB。（1）求证：BCSC；DCABPEACB1A1C（2）（文科）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；（理科）求面ASD与面BSC所成二面角的大小。8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA1的中点.点F为棱AB上的点.(Ⅰ)当点F为AB的中点时.(1)求证：EF⊥AC1；(2)求点B1到平面DEF的距离.(Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小为FBAF,求4的值.9.已知正四棱柱1111ABCDABCD中11,2ABAA，点E为1CC的中点，F为1BD的中点。⑴求1DE与DF所成角的大小；⑵求证：EF面1BDD；⑶求点1D到面BDE的距离。10.在三棱锥ABCP中,PC平面ABC,DBCABACPC,,2是PB上一点,且CD平面PAB.⑴求证:AB平面PCB;⑵求二面角BPAC的大小;⑶求异面直线AP与BC的距离.11.如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；（3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.12.如图，已知正三棱柱ABC—111CBA的底面边长是2，D是侧棱1CC的中点，直线AD与侧面11BBCC所成的角为45．D1C1B1A1DCBAEFABCDPEABCD1A1B1C（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角CBDA的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．13.如图，已知M，N分别是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的棱1BB和11BC的中点，求：（1）MN与1CD所成的角；（2）MN与1CD间的距离。14.如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.15.已知：四棱锥P-ABCD,ABCDPA平面,底面ABCD是直角梯形，90A，且AB∥CD,CDAB21,点F为线段PC的中点，(1)求证：BF∥平面PAD；(2)求证：CDBF。16.在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，2ACBCBDAE，M是AB的中点。（Ⅰ）求证：CMEM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；CDPABEMACBD17.如图，在五棱锥SABCDE中,,2,3SAABCDESAABAEBCDE面,120BAEBCDCDE.(1)求证：SBBC;(2)求点E到面SCD的距离；(3)求二面角BSCA的大小.18.如图，已知ABCD是直角梯形，90ABC，BCAD//，1,2BCABAD，PA平面ABCD．(1)证明：CDPC；(2)在PA上是否存在一点E，使得BE∥平面PCD？若存在，找出点E，并证明：BE∥平面PCD；若不存在，请说明理由；（3）若2PA，求二面角CPDA的余弦值．19.如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（III）求直线AB与平面PCD的距离．20.已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:MACBPDCMAVV；（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.答案：1.取AD的中点G，连结VG，CG．CDBAPSEADCB（1）∵△ADV为正三角形，∴VG⊥AD．又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，∴VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．设AD＝a，则aVG23，aDC2．在Rt△GDC中，aaaGDDCGC23422222．在Rt△VGC中，33tanGCVGVCG．∴30VCG．即VC与平面ABCD成30°．（2）连结GF，则aAFAGGF2322．而aBCFBFC2622．在△GFC中，222FCGFGC．∴GF⊥FC．连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．在Rt△VFG中，aGFVG23．∴∠VFG＝45°．二面角V-FC-B的度数为135°．（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．此时32BCAD，6FB，23FC，23VF．∴921FCVFSVFC，2321BCFBSBFC．∵VCFBFCBVVV，∴VFCFBCShSVG3131．∴93123331h．∴2h即B到面VCF的距离为2．2.以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1AC棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），1D（0，0，a），E（a，a，2a），F（a，2a，0），G（2a，a，0）．（1）aFD(1，2a，-a），2(aEG，0，)2a，∵0)2)((02)2(1aaaaaEGFD，∴EGFD1．（2）0(AE，a，2a），∴02201aaaaaAEFD．∴AEFD1．∵EAEEG，∴FD1平面AEG．（3）由0(AE，a，2a），BD1＝（a，a，a），∴AEcos，||||111BDAEBDAEBD155)(40212222222aaaaaaa．3.①取PC中点M，连结FM、EM∵F、M分别为PD、PC中点∴FM＝21CD∵E为AB中点，∴AE＝21CD∴FM＝AE，∴FMEA为平行四边形∴AF//EM∵AF平面PEC，EM平面PEC∴AF//平面PEC②延长DA，CE交于点N，连结PN∵AB⊥PA，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∵AB//DC∴DC⊥平面PAD∴DC⊥PDDC⊥AD∴∠PDA为二面角P－CD－B的平面角∴∠PDA＝45°∵PA＝AD＝３∠PDA＝45°//////BCDAP1DBCFEAPBCFEAPDNM…6’∵PD＝23∴PA⊥AD又PA⊥AB∴PA⊥平面ABCD∵AE//CD且E为AB中点∴AE＝21CD∴AE为△NDC的中位线∴AN＝AD＝PA∴△PND为Rt△又NE＝EC＝242PE＝242∴△PNC为Rt△∴PC⊥PNPD⊥PN∴∠CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角又PD＝23CD＝6PD⊥DC∴tan∠CPD＝PDCD＝236＝33∴∠CPD＝30°∴平面PEC和平面PAD所成二面角为30°③连结ED∵PA⊥平面ABCD∴VP－CED＝31S△CED·PA＝3133621＝623VP－CED＝VD－PCE＝623设点D到平面PCE的距离为d．S△PCE＝33VP－PCE＝31S△DCE·d＝623∴d＝223点D到平面PEC的距离为223．4.（1）过A作PDAEPA平面ABCD平面PAD平面ABCDCDADCD,平面PAD又AE平面PAD，,AECD又AEAEPD平面PCDAE为A到平面PCD的距离。在PADRt中5224,2,422PDADPA由AEPDADPASPAD2121得5545224AE；（2）由（1）知AE平面PCDAPD为直线PA与平面PCD所成的角在PADRt中，21arctan21tanAPDPAADAPD//（3）过A作PCAF，连EF，由（1）知AE平面PCD，由三垂线定理的逆定理知PCEFAFE为二面角DPCA的平面角，在PACRt中334AF，在AEFRt中，15304)554()334(2222AEAFEF263015`4554tanEFAEAFE5.（1）∵△PAD为正三角形，G为AD中点，∴PG⊥AD又PG面PAD，面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCD=AD∴PG⊥面ABCD，又GB面ABCD∴PG⊥GB又∵∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形，∴BA=BD∴BG⊥AD以G为原点，GB所在直线为x轴，GD所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立（如图所示）空间直角坐标系G—xyz，则G（0，0，0），)0,0,23(B，)23,0,0(P，)0,21,23(),0,1,23(EC)0,0,23(),23,1,23(GBPC∴GB与PC所成角θ的余弦值为：10303034314643cosPCGBPCGB1030arccos（2）设面PBC的一个法向量为)0,1,0(),1,,(BCyxn由0BCn和0PCn得)1,0,1(,101023230nzyxyxy即∴G到面PBC的距离46223223||nnGBd（3）设存在F点，使面DEF⊥面ABCD，且F分CP的比为则)123,11,123(F∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E为BC中点，∴BC⊥DE由BC面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知BC⊥面DEF0)123,2111,23123()0,1,0(EFBC即1,02111∴F为PC中点6.(1)证明：11111AABEABCAACBAABC平面是正三棱柱.11AACCBEACBEACEABC平面的中点，是是正三角形，.又1111AACCBECBECBE平面平面，平面