三次函数专题(解析版)

1三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)yaxbxcxda的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数232(0)yaxbxca，把2412bac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数32(0)yaxbxcxda图象与性质的探究：1、单调性。一般地，①当24120bac时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数；②当24120bac时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论，令2()320fxaxbxc两根为12,xx且12xx，则：0a0a导函数0000图象2、对称中心。三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：函数)0()(23adcxbxaxxf关于点（m，n）对称的充要条件是nxmfxmf2)()(，即：])()()([23dxmcxmbxmandxmcxmbxma2])()()([23，整理得，ndmcbmamxbma2)2222()26(232，据多项式恒等对应系数相等,可得，abm3且dmcbmamn23=)3()(abfmf，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(abfab.可见，)(xfy图象的对称中心在导函数)(xfy的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点（拐点）。xx1x2x0xx1x2xx0x2由上又可得以下结论：)(xfy是可导函数，①若)(xfy的图象关于点),(nm对称，则)('xfy图象关于直线mx对称.②若)(xfy图象关于直线mx对称，则)('xfy图象关于点)0,(m对称.这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.3、三次方程根的个数问题（或三次函数的图象与x轴交点个数）。（1）当△=01242acb时，由于不等式0)(xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=01242acb时，由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx，不妨设21xx，则：①若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。xyO1x2xxy1x2xOy1x2xOxxO1x2xyxO0x0xyxyOxyO1x2x1x2xxyO34、奇偶性。三次函数)0()(23adcxbxaxxf当且仅当0db时是奇函数。5、极值点问题。若函数)(xf在点0x的附近恒有)()(0xfxf(或)()(0xfxf)，则称函数)(xf在点0x处取得极大值（或极小值），称点0x为极大值点（或极小值点）。当0时，三次函数)(xfy在，上的极值点有两个。当0时，三次函数)(xfy在，上不存在极值点。6、最值问题。由函数)0()(23adcxbxaxxf的图像能够探究出在区间],[nm的最大值与最小值：函数)0()(23adcxbxaxxf，nmx，，若nmx，0，且0)(0xf，则：)()()(max)(0maxnfxfmfxf，，；)()()(min)(0minnfxfmfxf，，。8、三次函数切线问题。①在00yxP，处的切线求法设点00yxP，为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象上任一点，则在点P一定有直线与)(xfy的图象相切，且只有一条。cbxaxxfk020023)(，切线方程为：))(23(00200xxcbxaxyy②过00yxP，处的切线求法设点00yxP，为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象上任一点，则在点P一定有直线与)(xfy的图象相切。过P点作)(xfy图象的切线，设切点为11yxQ，，则切线的斜率cbxaxxfk121123)(，切线方程为：))(23(11211xxcbxaxyy，将点00yxP，代入，得))(23(1012110xxcbxaxyy，1012112131023xxcbxaxdcxbxaxy，将1x求解出来即可.49、三次函数解析式的常见形式。（1）一般形式：32()(0)fxaxbxcxda（2）已知函数的对称中心为),(nm，则)0()()()(3anmxBmxAxf（3）已知函数图象与x轴的三个交点的横坐标、、，则)0)()()(()(axxxaxf（4）已知函数图象与x轴的一个交点的横坐标0x，则)0)()(()(20anmxaxxxxf三、例题讲解：例1、已知函数133)(23xaxxxf。（Ⅰ）设2a，求)(xf的单调区间；（Ⅱ）设)(xf在区间32，中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：①式无解，②式的解为3545a，因此a的取值范围是3545，.5例2、已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')(（其中32'f为)(xf在点32x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由Cxxfxxf2332')(，得132'23)('2xfxxf．取32x，得13232'232332'2ff，解之，得132'f，∴Cxxxxf23)(．从而1313123)('2xxxxxf，列表如下：x)31,(31)1,31(1),1()('xf＋0－0＋)(xf↗有极大值↘有极小值↗∴)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(；)(xf的单调递减区间是)1,31(．（2）由（1）知，CCfxf27531313131)]([23极大值；CCfxf1111)1()]([23极小值．∴方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([极大值xf或0)]([极小值xf．∴常数275C或1C．（3）由（2）知，275)(23xxxxf或1)(23xxxxf．而031f，所以1)(23xxxxf．令01)(23xxxxf，得0)1()1(2xx，11x，12x．∴所求封闭图形的面积11231dxxxx11234213141xxxx34．例3、已知函数3211()32fxxxcxd有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若()fx在2x处取得极值，且当0x时，21()26fxdd恒成立，求d的取值范围．解：（Ⅰ）∵3211()32fxxxcxd，∴2()fxxxc，要使()fx有极值，则方程2()0fxxxc有两个实数解，从而△＝140c，∴14c．6（Ⅱ）∵()fx在2x处取得极值，∴(2)420fc，∴2c．∴3211()232fxxxxd，∵2()2(2)(1)fxxxxx，∴当(,1]x时，()0fx，函数单调递增，当x(1,2]时，()0fx，函数单调递减．∴0x时，()fx在1x处取得最大值76d，∵0x时，21()26fxdd恒成立，∴76d2126dd，即(7)(1)0dd，∴7d或1d，即d的取值范围是(,7)(1,)．例4、设函数0)(23aRdcbadcxbxaxxf，，，，,其中30f,)(xf是)(xf的导函数.(1)若36)3()1(ff，0)5(f,求函数)(xf的解析式;(2)若6c,函数)(xf的两个极值点为1x，2x满足21121xx.设102622baba,试求实数的取值范围.解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：，据题意得解得故为所求.(Ⅱ)据题意,,则又是方程的两根,且7则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是三次函数作业1、设)(xf是函数)(xf的导函数，xfy的图象如图所示，则xfy的图象最有可能是（）解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息：①；②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。2、函数13)(3xxxf在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－198解：函数的导方程是，两根为1和－1，由性质2得：，。故选C。3、已知函数xxy3，求过点01，A的切线方程。解：231fxx，若A是切点，则切线方程为02122yxyx若A不是切点，设切点为3,ttt，则切线方程为3231ytttxt，将1,0A代入得23232223102211210ttttttt，所以切点为13,28，则切线方程为410xy。4、设函数cbxxaxxf23231)(，其中0a，曲线()yfx在点)0(0fP，处的切线方程为1yI确定b、c的值。II设曲线()yfx在点11xfx，及22xfx，处的切线都过点20，证明：当21xx时，12()()fxfxIII若过点20，可作曲线()yfx的三条不同切线，求a的取值范围。9105、已知函数321()3fxxaxbx,且'(1)0f1试用含a的代数式表示b,并求()fx的单调区间；2令1a,设函数()fx在1212,()xxxx处取得极值，记点M(1x,1()fx)，N(2x,2()fx)，P(,()mfm),12xmx,请仔细观察曲线()fx在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：I若对任意的21xxm，，线段MP与曲线()fx均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；II若存在点nfnQ，,mnx,使得线段PQ与曲线()fx有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）解：解法一:(Ⅰ)依题意,得2'()2fxxaxb由'(1)12021fabba得.从而32