高等数学 _函数的极限与洛比达法则

§1函数极限的概念与性质一、函数极限的概念自变量变化过程的六种形式:0xlim()xfxAlim()xfxAlim()xfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA第二讲函数的极限与洛比达法则0x1A2A0x0()fx00lim()()xxfxfx0x1A2A01lim()xxfxA02lim()xxfxA0()fx00lim()lim()xxxxfxfxA0xA0x1A2A0012lim()lim()xxxxfxAfxA第二讲函数的极限与洛比达法则0x1A0x1A2AA001lim()lim()xxxxfxAfx00lim()lim()xxxxfxfx21lim()lim()xxfxAfxAlim()lim()0xxfxfxlim()lim()xxfxfxA第二讲函数的极限与洛比达法则二、函数极限的性质1.唯一性0lim()xxfx若存在，则其极限值是唯一的2.局部有界性00lim()()xxfxfxx若存在，则在的某邻域0,0x设与是两个实数且。0,x点叫做这邻域的中心.叫做这邻域的半径00(,){}Uxxxx00{}xxxx数集称为点的,邻域0(,)Ux记作000(,){}Uxxxxx),(aax0x0x0x00,Ux（）有界空心邻域（不含）0x3.局部保号性000lim()0(0),,()0(()0xxfxAAAUxfxfx若，且或则在（）有或)4.无穷小量乘有界量仍是无穷小量5.有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量第二讲函数的极限与洛比达法则三、无穷小的概念及其阶的比较时,函数(或)x则称函数为1.定义若(或)x则时的无穷小0lim()0xxfx0lim()0xxfxlim()0xfxlim()0xfxlim()0xfx0lim()0xxfx2.无穷小阶的比较20lim03xxx203limxxx0sinlim1xxxlim()0lim()0xx00()lim0()1xxcx　　　　　称是比高阶无穷小，记=（）称是比低阶无穷小，记=（）称与是同阶无穷小，称与是等价无穷小，记　　第二讲函数的极限与洛比达法则第二讲函数的极限与洛比达法则四、极限运算法则lim(),lim(),(1)lim[()()]lim()lim();(2)lim[()()]lim()lim();()lim()(3)lim,0.()lim()fxAgxBfxgxfxgxABfxgxfxgxABfxfxABgxgxB设则其中推论1lim(),,lim[()]lim().fxccfxcfx如果存在而为常数则lim(),,lim[()][lim()].nnfxnfxfx如果存在而是正整数则推论2复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点的某去心领域内有定义,若0x,)(lim,)(lim000AxfuxgxxxxAufxgfuuxx)(lim)]([lim00则§2函数极限计算的方法不定式（未定式）当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则，这种极限称为不定式极限。0,00常见的不定式有：0001求函数极限时，贯穿始终的思想是直接代入，而大多数函数是不可以的，原因是它们都是不定式，所以我们就必须利用各种方法将原函数变成可以直接代入的函数（定式）第二讲函数的极限与洛比达法则一、无穷大分裂法二、无穷小分裂法比较分子、分母的最高次幂因式分解、通分、分子或分母有理化三、利用等价无穷小替换求极限0x1.常见的替换公式sintanarcsinarctanln(1)111xxxxxxxexx21cos2xx(1)1xx2.替换原则：乘除可换、加减忌换3.活用公式、整体思想2(0)cos12xxx1sin((11))xxx　()ln(1()(lim()))0xxx第二讲函数的极限与洛比达法则4.补充（复合函数等价无穷小替换）[()][()](()())gfgxfxxx　00sin(tan)sinlimlim1xxxxxx例第二讲函数的极限与洛比达法则四、利用重要极限求极限（两个重要极限）1.基本公式0sinlim1xxx10lim(1)xxxe1lim(1)xxx1()()0lim(1())xxxe1111lim(1)xxxe10lim(1)xxx110lim[(1)]xxx1e1lim(1)xxx1111lim[(1)]xxx1e第二讲函数的极限与洛比达法则2.公式推广（简便计算公式）00lim()0,lim()xxxxuxvx若00lim()()()lim[1()]xxuxvxvxxxuxe则00()()1()()lim[1()]lim[1()]uxvxvxuxxxxxuxux证明：0()()limuxvxxxe0lim()()xxuxvxe本公式多用于形如的幂指函数1第二讲函数的极限与洛比达法则五、利用左、右极限求极限lim()xfxAlim()xfxAlim()xfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA六、利用变量代换求极限适当地进行变量代换，使得极限中出现0或∞，从而利于我们使用所熟知的各种方法求解极限第二讲函数的极限与洛比达法则七、利用洛比达法则求极限0,0000011.洛比达定理00对或型的极限，只要下式右边的极限存在（或为）**()'()limlim()'()xxfxfxgxgx则2.注意事项*,,,,,xxx000（1）可表示中任一种；00（2）必须是型或型，否则不适用；（3）利用洛比达法则一次不成功，可以继续使用；（4）在使用洛比达法则之前要尽量地化简原函数，比如对一些因式直接代入，或将其等价代换。第二讲函数的极限与洛比达法则八、已知函数极限存在，反求函数中的参数基本思路与方法步骤：1.利用无穷小（大）阶的比较进行分析lim()0lim()lim()(0)fxfxfxcc　　　　2.利用分子（或分母）极限建立参数满足的关系式3.消除其中的一个参数，并回代到原函数中进行极限求解4.有时可以利用1的分析，得到原函数极限形式为则可以运用洛比达法则求解0,022lim3,,2xxaxbabx已知则常数的取值为（　　）2009年第1题第二讲函数的极限与洛比达法则课后习题讲解1.sin1limsin1xxxxx1sinlim1xxx2.xyo1xye第二讲函数的极限与洛比达法则4.本题是一道比较经典的考试题型0(2)limxfxx02(2)lim1Lxfx2(0)f2(0)1f0lim(3)xxfx01lim3(3)Lxfx13(0)f130(2)limxfxx0(2)lim2xfoo0lim(3)xxfx0322lim3(3)xxfx213213第二讲函数的极限与洛比达法则6.(1)1xx1211(1)1xx12x012lim0xxx()ox17.11limlim11xxxxxxxx00lim()()()lim[1()]xxuxvxvxxxuxe1lim11xxx1lim1xxxe1e第二讲函数的极限与洛比达法则8.2112lim11xxx11lim(1)(1)xxxx1211lim1xx9.397100(21)(32)lim(31)xxxx397100233332382710.21lim(6)0xxax70a7a11.1201arcsinlimsinxxxexx12001arcsinlimsinlimxxxxexx011和的极限变成极限的和必须满足每个函数的极限都存在！第二讲函数的极限与洛比达法则12.22400ln(1)limlimsinnnxxxxxxx04()nxox4n200sinlimlim1cos2nnxxxxxx02()2nxxo2n3n13.sin32sin32limlimsin2sin233xxxxxxxxxx23第二讲函数的极限与洛比达法则14.001tan1sinlim(1cos)1tan1sin1tan1sinlim(1cos)1tan1sinxxxxxxxxxxxxxx0tansinlim(1cos)(1tan1sin)xxxxxxx30tan(1cos)limxxxx3302limxxx12第二讲函数的极限与洛比达法则15.2121limsincoslim1sincos1xxxxxxxx21lim(sincos1)xxxxe21limsinlim(cos1)xxxxxxe212sin2limlim()22xxxxxxe20e2e第二讲函数的极限与洛比达法则16.001(sin2)2lncos2cos2limlim1lncos3(sin3)3cos3Lxxxxxxxx02sin2lim3sin3xxx022lim33xxx4900lncos2ln(1cos21)limlimlncos3ln(1cos31)xxxxxx0cos21limcos31xxx02sin2lim3sin3Lxxx49第二讲函数的极限与洛比达法则17.0022limlimsin1cosxxxxLxxeexeexxx202lim2xxxeex2022limxxxeex02lim2xxLxeex02lim2xxLxee218.100lim()lim()xxxfxeaa001coslim()limxxxfxx202limxxx022limxxx22第二讲函数的极限与洛比达法则19.()lim[()]gxfx幂指函数极限的取自然对数法()ln[()]limgxfxe()ln[()]limgxfxe0()000000ln00ln0(0)0ln0ln(0)10　　　1　0　　()113ln0lim(sin3)xxxlim()ln[()]gxfxe113lnln(sin3)0limxxxe0ln(sin3)lim13lnxxxe0ln3lim13lnxxxe033lim3xxLxe13e第二讲函数的极限与洛比达法则20.21lim[ln(1)]xxxx11txxt令，则2011lim[ln(1)]tttt原式20ln(1)limtttt0111lim2Lttt01lim2(1)tt12第二讲函数的极限与