常用坐标系及其间的转换

第一章常用坐标系与变质量力学原理1.1常用坐标系及其变换在飞行力学中，为方便描述影响火箭运动的物理量及建立火箭运动方程，要建立多种坐标系。这里介绍其中常用的一些坐标系及这些坐标系的相互转换关系。另一些坐标系将在具体章节中进行介绍和引用。1.1.1常用坐标系5I1.地心惯性坐标系EIIOXYZ−该坐标系的原点在地心处。轴在赤道面内指向平春分点，由于春分点随时间变化而具有进动性，根据1796年国际天文协会决议，1984年起采用新的标准历元，以2000年1月1.5日的平春分点为基准。轴垂直一赤道平面，与地球自转重合，指向北极。轴的方向是使得该坐标系成为右手臂直角坐标系的方向。EOEIOXEIOZEIOY该坐标系可有来描述洲际弹道导弹、运载火箭的飞行弹道以及地球卫星、飞船等的轨道。2.地心坐标系EEEOXYZ−EE坐标系原点在地心，在赤道平面内指向某时刻的起始子午线（通常取格林威治天文台所在子午线），轴垂直于赤道平面指向北极。组成右手直角坐标系。由于坐标与所指向的子午线随地球一起转动，因此这个坐标系EOEEOX0tEEOZEEEOXYZ−EEOX为一动参考系。地心坐标系对确定火箭相地于地球表面的位置很适用。3.发射坐标系Oxyz−坐标原点与发射点固连，轴在发射点水平面内，指向发射瞄准方向，oy轴垂直于发射点水平面指向上方。oz轴与ooxxoy面相垂直并构成右手坐标系。由于发射点随地球一起旋转，所以发射坐标系一动坐标系。o以上是该坐标系的一般定义。当把地球分别看成是圆球或椭球时，其坐标系的具体含意是不同的。因为过发射点的圆球表面的切平面与椭球表面的切平面不重合，即圆球时oy轴与过点的半径oR重合，如图1.1所示，而椭球时oy轴与椭圆过点的主法线重合，如图1.2所示。它们与赤道平面的夹角分别称为地心纬度（记作o0φ）和地理纬度（记作0B）。在不同的切平面ox轴与子午线切线正北方向的夹角分别称为地心方位角（记作0α）和射击方位角（记作），这些角度均以对着看去顺时针为正。0Ay利用该坐标可建立火箭相对于地面的运动方程，便于描述火箭相对大气运动所受到的作用力。4.发射惯性坐标系AAAoxyzA−火箭起飞瞬间，与发射点重合，各坐标轴与发射坐标系各轴也相应重合。火箭起飞后，点及坐标系各轴方向在惯性空间保持不动。AooAo利用该坐标来建立火箭在惯性空间的运动方程。5.平移坐标系TTToxyzT−该坐标系原点根据需要可选择在发射坐标系原点，或是火箭的质心，始终与o或重合，但其坐标轴与发射惯性坐标系各轴始终保持平行。o1oTo1o该坐标系用来进行惯性器件的对准和调平。6.箭体坐标系111oxyz1−（弹体坐标系）6坐标原点为火箭的质心。为箭体外壳对称轴，指向箭的头部。在火箭的主对称面内，该平面在发射瞬时与发射坐标系1o11ox11oyxoy平面重合，1y轴垂直1x轴。轴重直于主对称面，顺着发射方向看去，轴指向右方。1z1z111oxyz1−为右手直角坐标系。该坐标系在空间的位置反映了火箭在空中的姿态。图1.1发射坐标系之一图1.2发射坐标系之二77.速度坐标系1vvvoxyz−坐标系原点为火箭的质心。轴沿飞行器的飞行速度方向。轴在火箭的主对称面内，重直轴，轴垂直于1vox1voy1vox1voz1vvxoy平面，顺着飞行方向看出，轴指向右方，亦为右手直角坐标系。vz1vvvoxyz−用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速度矢量状态。1.1.2坐标系间转换1.地心惯性坐标系与地心坐标之间的方向余弦阵由定义可知这两坐标系的，是重合的，而指向平春分点指向所讨论的时刻格林威治天文台所在子午线一赤道的交点，与的夹角要通过天文年历年表查算得到，记该角为EIoZEEoZEIoXEEoXEIoXEEoXGΩ，显然，这两个坐标系之间仅存在一个欧拉角，因此不难写出两个坐标系的转换矩阵关系。GΩEIEIIEIXXYYZZ⎡⎤⎡⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣E⎤⎥⎥⎥⎦1(1.1)其中cossin0sincos000GGIGGΩΩ⎡⎤⎢⎥=−ΩΩ⎢⎥⎢⎥⎣⎦E（1.2）2.地心坐标系与发射坐标系之间的方向余弦阵设地球为一圆球，发射点在地球表面的位置可用经度0λ、地心纬度0φ来表示，ox指向射击方向，该轴与过o点的子午北切线夹角为地心方位角0α，如图1.3所示。如图1.3所示，要使这两个坐标系各轴相应平行，可先绕轴反转EEOZ090λ−o，8图1.3与EEEEOXYZ−0xyz−关系图然后绕新坐标系EOX′正向转0φ，即可将轴转至与轴平行，此时再绕与平行的新的第二轴反转EOYoyoy090α+o，即使得两坐标系相应各轴平行。而0(90)λ−−o、0φ、0(90)α−+o即为三个欧拉角。方向余弦阵关系式为：00000EEEE0xxyzzy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣G⎦（1.3）其中00000000000000000000000000000sinsincossincossincoscossinsincoscoscoscoscossinsincossinsinsincoscoscossinsinsinsincosEαλαφλαλαφλαφφλφλφαλαφλαλαφλαφ−−−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−++−⎣⎦G（1.4）若将地球考虑为总地球椭球体，则发射点在椭球体上的位置可用经度0λ，地理纬度0B确定，ox轴的方向则以射击方位角表示。这样两坐标系间的方向余弦阵只需0A910图1.4发射坐标系与箭体坐标系欧拉角关系图将式（1.4）中之00φα、分别用00BA、代替。即可得到。3.发射坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵这两个坐标系的关系用以反映箭体相对于发射坐标系的姿态角。为使一般一状态下这两坐标系转至相应轴平行，现采用下列转动顺序：先绕oz轴正向转动ϕ角，然后绕新的轴正向转动y′ψ角，昀后绕新的1x轴正向转γ角。两坐标系的欧拉角关系如图1.4所示，该图是将它们原点重合在一起的。这样不难写出两个坐标系的方向余弦关系。00101001G0xxyzz⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦By（1.5）其中coscossincossincossinsinsincossinsinsincoscoscossincossincossinsinsinsincoscossincoscosGϕψϕψψϕψγϕγϕψγϕγψγϕψγϕγϕψγϕγψγ−⎡⎤⎢⎥=−+⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦B（1.6）由图1.4可看出各欧拉角的物理意义。角ϕ称为俯为俯仰角，为火箭纵轴在射击平面1oxxoy上的投影量与x轴的夹角，投影量在x的上方为正角；角ψ称为偏航角，为轴与射击平面的夹角，在射击平面的左方，1ox1oxψ角取正值；角γ称为滚动角，为火箭绕1x轴旋转的角度，当旋转角速度矢量与1x轴方向一致，则该角γ取为正值。4.发射坐标系与速度坐标系间的欧拉角及方向余弦阵两个坐标系的转动至平行的顺序及欧拉角如图1.5所示，图中将两个坐标系原点重合，绕轴正向转动ozθ角（速度倾角），接着绕y′轴正向转动σ角（航迹偏角），昀后绕vx轴正向转动ν角（倾侧角），即可使地面坐标系与速度坐标系相重合，上述θσν、、角即为三个欧拉角，图1.5中表示的各欧拉角均定义为正值。不难写出这两个坐标系的方向余弦阵关系。图1.5发射坐标与速度坐标欧拉角关系图11000000vvGvxxyyzz⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦V⎥（1.7）其中为方向余弦阵GVcoscossincossincossinsinsincossinsinsincoscoscossincossincossinsinsinsincoscossincoscosGθσθσσθσνθνθσνθνσνθσνθνθσνθνσν−⎡⎤⎢⎥=−+⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦V（1.8）5.速度坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵据定义，速度坐标系轴在火箭主对称平面1voy111xoy内。因此，这两个坐标系间的转换关系只存在两个欧拉角。将速度坐标系先绕转1voyβ角，β角称为侧滑角；然后，绕新的侧轴转动11ozα角，α角称为攻角。即达到两个坐标系重合。两个坐标系的欧拉角关系如图1.6所示。图中之αβ、均为正值方向。因此，可得两个坐标系的方向余图1.6速度坐标系与箭体坐标系关系图12弦关系为13000101001vVvvxxyzzy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣B⎦（1.9）其中，表示由速度坐标系到箭体坐标系的方向余弦阵VBcoscossinsincoscossincossinsinsin0cosVβααβαβααβαββ−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B(1.10)由图1.6可看出这两个欧拉角的意义是：侧滑角β是速度轴vx与箭体主对称面的夹角，顺看去，在主对称面右方为正；11ox11ox攻角α是速度轴在主对称面的投影与的夹角，顺轴看去，速度轴的投影量在的下方为正。1vox11ox11ox11ox6.平移坐标系或发射惯性坐标系与发射坐标系的方向余弦阵设地球为一圆球。据定义，发射惯性坐标系在发射瞬时与发射坐标系是重合的，只是由于地球旋转，使固定在地球上的发射坐标系在惯性空间的方位发生变化。记从发射瞬时到所讨论时刻的时间间隔为t，则发射坐标系绕地轴转动etω角。显然，如果发射坐标系与发射惯性坐标系各有一轴与地球转动相平行，那它们之间方向余弦阵将是很简单的。一般情况下，这两个坐标系对转动轴而言是处于任意的位置。因此，首先考虑将这两个坐标系经过一定的转动使得相应的新坐标系各有一轴与转动轴平行，而且要求所转动的欧拉角是已知参数。一般情况下两个坐标的关系如图1.7所示。由此我们可先将AAAoxyzA−与oxyz−分别绕Ayy轴转动角0α，这即使得Axx、转到发射点所在子午面内，此时与即转到垂直于各自子午面在过发射点的纬圈的切线方向。然后再绕各自新的侧轴转Ao、oAzz0φ角，从而得新的坐标系AAAoAξηζ−及oξηζ−，此时Aξ轴与ξ轴均平行于地球转动轴。昀后，将新的坐标系与各自原有坐图1.7发射惯性坐标系与发射坐标系关系图标系固连起来，这样，AAAoAξηζ−仍然为惯性坐标系，oxyz−也仍然为随地球一起转动的相对坐标系。不难根据上述坐标系转动关系写出下列转换关系式00000AAAAA0Axyzξηζ⎡⎤⎡⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣A⎤⎥⎥⎥⎦0（1.11）00000xAyzξηζ⎡⎤⎡⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎦0（1.12）其中,00000000000coscossinsincoscossincossinsinsin0cosαφφαφαφφαφαα−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A（1.13）注意到在发射瞬时0t=处，oAAAξηAζ−与oξηζ−重合，且Aξ、ξ的方向与地14球自转轴的方向一致。那么，任意瞬时时，这两个坐标系存在一个绕eωtAξ的欧拉角etω，故它们之间有下列转换关系：00000AAA0ξξηηζζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣B⎦et（1.14）其中,1000cossin0sincoseeetttωωωω⎡⎤⎢⎥=⎢⎢⎥−⎣⎦B⎥0（1.15）根据转换矩阵的传递性，由式（1.11）、（1.12）及式（1.14）可得到：00000AAAAxxyzzy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣G⎦A（1.16）其中为发射惯性坐标系与发射坐标系之间的方向余弦阵：AG1A−=GAB（1.17）由于为正交矩阵，故有。A1T−=AA将式（1.13）、（1.15）代入式（1.17），运用矩阵乘法可得到矩阵中的每个元素。令表示中的第i行第AGijgAGj列元素，则有221100coscos(1cos)coseegttαφω=−+ωt1200000cossincos(1cos)sincossineegtαφφωαφω=−−2130000sincoscos(1cos)sinsineegttααφωφω=−−−2100000cossincos(1cos)sincossineegttαφφωαφω=−+2220sin(1cos)cosegtetφω=−+ω（1