2009年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2log0a，1()12b，则【D】A．1a,0bB．1a,0bC.01a,0bD.01a,0b2．对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的【A】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数sinyx的图象向左．．平移(02)个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于【D】A．6B．56C.76D.1164．如图1，当参数12,时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则【B】A．120B．210C．120D．2105．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【C】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式组20,30xyxy所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为【B】A．4B．2C．34D．32图1c2c1oyxC1D1B1A1DCBA7．正方体1111ABCDABCD的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【C】A．2B．3C．4D．58．设函数()yfx在(,)内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()fx2xxe。若对任意的(,)x，恒有()Kfx()fx，则【D】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.10．在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答).11．若(0,)2x，则2tantan()2xx的最小值为22.12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线C的离心率为6213．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为40。14．在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为3.15．将正ABC分割成2*(2,)nnnN个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()fn，则有(2)2f，(3)f103，…，()fn1(1)(2)6nn.BACABC图3图2三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在ABC中，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小解：设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A.又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA.所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C.由6A知506C，所以42333C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,iiiABCi=1，2，3.由题意知123,,AAA相互独立，123,,BBB相互独立，123,,CCC相互独立，,,ijkABC（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且111(),(),().236iiiPAPBPC（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233!()PABC1236()()()PAPBPC11116.2366（Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B（3，13），且=3-。所以P（=0）=P（=3）=3331()3C=127，P（=1）=P（=2）=23C21()32()3=29，P（=2）=P（=1）=13C1()322()3=49，P（=3）=P（=0）=03C32()3=827.故的分布列是0123P1272949827的数学期望E=1027+219+429+8327=2.解法2:记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件iD，i=1,2,3.由已知，123,,DDD相互独立，且P（iD）=（iiAC）=P（iA）+P（iC）=12+16=23，所以2(3,)3B,即3321()()()33kkkPkC，0,1,2,3.k故的分布列是0123P127294982718．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE（I）证明：平面ADE平面11ACCA；（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解：（I）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC.又DE平面111ABC，所以DE1AA.而DEAE，1AAAE=A，所以DE平面11ACCA.又DE平面ADE，故平面ADE平面11ACCA（2）解法1：如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC1，C1F，由正三棱柱111ABCABC的性质及D是11AB的中点知，11ABC1D，11ABDF又C1DDF=D，所以11AB平面C1DF.而AB∥11AB，所以AB平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1平面C1DF。过点D做DH垂直C1F于点H，则DH平面ABC1。连接AH，则HAD是AD和平面ABC1所成的角。由已知AB=2AA1，不妨设AA1=2，则AB=2，DF=2，DC1=3，C1F=5，AD=2211AAAD=3，DH=FCDCDF11·=532=530.ABCDA1B1C1EABCDA1B1C1EFH所以sinHAD=ADDH=510。即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510.解法2：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)，B（3，0，0），C1（0，1，2），D（23，12，2）。易知AB=(3，1，0)，1AC=(0，2，2)，AD=(23，12，2）.设平面ABC1的法向量为(,,)nxyzr,则有1·30,·220.nABxynACyz解得3,2.3xyzy故可取(1,3,6)nr.所以，cos,nADnADnADruuurruuurruuur=31032=510。由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元。（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：（Ⅰ）设需新建n个桥墩，则(1)1mnxmx，即n=，ABCDA1B1C1Exozy所以()yfx(2)mmxxxxx=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.mmxmx（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2132222561'()(512).22mmfxmxxxx令'()0fx，得32512x，所以x=64.当0x64时，'()fx0，()fx在区间（0，64）内为减函数；当64640x时，'()fx0.()fx在区间（64，640）内为增函数.所以()fx在x=64处取得最小值，此时640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使y最小。20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则224(3)3|2|.dxyx由题设，18dx，即224(3)3|2|18xyxx.……①当x2时，由①得221(3)6,2xyx……②化简得221.3627xy当2x时，由①得22(3)3,xyx……③化简得212yx.故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C，2C的交点都是A（2，26），B（2，26），直线AF，BF的斜率分别为AFk=26，BFk=26.当点P在1C上时，由②知162PFx.……④当点P在2C上时，由③知3PFx.……⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(3)ykx.（ⅰ）当k≤AFk，或k≥BFk，即k≤26或k≥26时，直线l与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy都在1C上，此时由④知116,2MFx2162NFx，从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-121x）+（6-122x）=12-12(1x+2x).由22(3),13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk.则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk，∣MN∣=12-12（1x+2x）=12-221234kk.因为当226,6,24,kkk或2时所以222121212100121212.3334114424kMNkk当且仅当26k时，等号成立。（ⅱ）当,2626AFAFkkkk时，直线l与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上，不妨设点M在1C上，点N在2C上，则由④⑤知，1216,32MFxNFx.设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFxAF，所以MNMFNFEFAFAE